Problema 4. 29a Olimpiada Mexicana de Matemáticas

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Sea $n$ un entero positivo. María escribe en un pizarrón las $n^3$ ternas que se pueden formar tomando tres enteros, no necesariamente distintos, entre $1$ y $n$, incluyéndolos. Después, para cada una de las ternas, María detetermina el mayor (o los mayores, en caso de que haya más de uno) y borra los demás. Por ejemplo, en la terna $(1,3,4)$ borrará los números $1$ y $3$, mientras que en la terna $(1,2,2)$ borrará sólo el número $1$.
 
Muestra que, al terminar este proceso, la cantidad de números que quedan escritos en el pizarrón no puede ser igual al cuadrado de un número entero.



Imagen de David Contreras_2

sin perdida de generalidad

sin perdida de generalidad siempre hay numeros a,b,c tales que:

a$\geq$b$\geq$c

pero hay 4 casos de ordenarlos:

1)a=b=c 2) a=b>c 3) a>b=c 4) a>b>c

ahora contaremos la cantidad de numeros que quedaran despues de eliminar los numeros.

1) a=b=c entonces (n,1,1) hay n numeros de esa forma,pero como los 3 son iguales,no hay mayor,habra $3n$ en el pizarron.

2)a=b>c (n,1,n-1),aqui se debe tomar en cuenta que un numero se esta contando [k,k,m] y [m,m,k] pero como solo uno es el mayor se debe dividir entre 2,y como el numero [k,k,m] se permuta 3 veces no obstante como son 2 numeros los mayores el conteo queda asi: $3n(n-1)$

3) a>b=c Este caso es analogo al otro pero como ahora solo se elige 1 numero queda el conteo asi:

 $\frac{3n(n-1)}{2}$

4) a>b>c Como se puede hacer: (n,n-1,n-2) ese sera el conteo ya que como hay 6 formas de acomodar los numeros [k,m,l] y el total de permutaciones es $C(n,3)$=$\frac{(n)(n-1)(n-2)}{6}$ y al multiplicarlo por 6 da lo ya mecionado: $n(n-1)(n-2)$

Ahora sumando los casos tenemos al final con una buena manipulacion algebraica: $\frac{(n)(n+1)(2n+1)}{2}$ demostraremos que no es un cuadrado:

es facil demostrar que los 3 factores son primos relativos por lo que almenos 2 deben ser cuadrados perfectos,y uno es $2n+1$ ya que si no fuera entonces $n$ y $n+1$ serian los cuadrados,pero no hay cuadrados positivos de diferencia 1.

ahora bien hagamos 2 casos,para n de las formas $2k$ y $2k+1$

caso $n=2k$ entonces sustituyendo a la expresion obtenida tenemos:

$\frac{2k(2k+1)(4k+1)}{2}$=$k(2k+1)(4k+1)$al eliminar el factor 2 que teniamos nos quedan solo cuadrados perfectos,entonces como k es cuadrado entonces $4k$ tambien lo es,pero como $4k+1$ debe ser cuadrado lo que no es posible entonces se niega para el caso.

caso $n=2k+1$ entonces sustituyendo a la expresion tenemos:

$\frac{2k+1(2k+2)(4k+3)}{2}$=$2k+1(k+1)(4k+3)$

pero como $4n+3$ debe ser cuadrado lo que no es posible ya que los cuadrados $mod  4$ dan residuos 0,1. Asi que para este caso no hay soluciones.

Por lo tanto nunca la cantidad de numeros en el pizarron es un cuadrado perfecto.

 

 

 

 

 

 

Imagen de German Puga

Hola David, Es claro que el

Hola David,

Es claro que el problema se divide en dos partes: Hacer el conteo y demostrar que dicha expresión jamás es un cuadrado perfecto. 

La segunda parte esta perfecta, bien escrita y argumentada. En la primera no es así, te digo por qué:

  •   Hablas de la existencia de tres números  a,b,c que satisfacen la desigualdad cuando en realidad no te estan pidiendo nada cerca de eso. Hubiera quedado mejor como '' Para cualesquier terna de enteros (a,b,c) tenemos los siguientes casos...''
  • Cuando haces la división de casos, también era mejor decirlo con palabras, digamos: Las ternas en las que hay un número que se borra, en las que se borran dos números, o en las que no borras ninguno.
  • Escribes una notación que no explicas bien que significa algo asi (n,n-1,1) y esto hizo que me confundiera pues las ternas ya vienen en este formato de las tripletas, lo que tu intentas decir (pero no lo haces) es que la primera posición tiene n posibilidades, la segunda n-1 posibilidades y la última queda definida.
  • Dices que el total de permutaciones de una terna en la que todos son distintos es C(n,3) pero te confundes solo se permutan de 6 maneras, a lo que tu te refieres es que los números dentro de estas ternas solo pueden ser de C(n,3) maneras. 

A pesar de ello, no es un problema en el que sea dificil de seguir las ideas pero en uno  complicado de escribir podria llegar a ser grave no saber expresarte. 

De todas formas de escribirlo así obtendrias todos los puntos.

Saludos

Germán