Encontrar ángulo dada una bisectriz

Versión para impresión
Sin votos (todavía)

En un rectángulo $ABCD$, $F$ es el punto medio del lado $CD$ y $E$ es un punto del lado $BC$ tal que $AF$ es bisectriz del ángulo $EAD$. Si el ángulo $AEF$ mide 68 grados ¿cuál es la medida del ángulo $BAE$?




Imagen de jmd

  No quisiera arruinarles

 

No quisiera arruinarles la fiesta a los adolescentes aficionados a las matemáticas de concurso, así que solamente dejo la idea general de una forma de resolver este problema ingeniosamente elemental.
 
(La pongo porque me servirá para archivarla y tenerla disponible --antes de que se me pierda el borrador... posiblemente la necesite para algún entrenamiento...)
 
La bisectriz es el lugar de los puntos equidistantes a los lados del ángulo (y también eje de simetría de éstos). Este significado sugiere buscar más información con el trazo auxiliar $FG$ --la distancia de $F$ a $AE$.
 
Con ese trazo debería ser relativamente fácil ver la congruencia de los triángulos $FGE$ y $FCE$ --por el criterio LLL gracias al dato de punto medio y el hecho de que ambos son triángulos rectángulos. El resto es pan comido.
 
Los saluda
Imagen de cuauhtemoc

Yo me di cuenta de la misma

Yo me di cuenta de la misma congruencia, pero antes de eso traze una circunferencia de centro F y radio FC que intersectó al segmento AE en un punto G, de donde concluimos que AE es tangente a la circunferencia y el ángulo EFG es de 22°. Luego los triángulos AFG y EGF son semejantes de donde los ángulos EFG , EAF y FAD son iguales a 22°, cada uno.

Por lo tanto el ángulo EAD es igual a 22x2= 44°

Y el ángulo BAE mide 90-44 = 46°