Área del triángulo si...

Puesto que el triángulo es rectángulo y a,b,c están en orden creciente, se puede concluir que c es la hipotenusa y a y b los catetos.

Por Pitágoras se tiene que $a^2+b^2=c^2$. De aquí que, tomando en cuenta el dato de que $a+c=49$, $b^2=(c-a)(c+a)=49(c-a)$. Se sigue que c-a debe ser un cuadrado perfecto.

Si $c-a=1$, entonces $c=a+1$. Por tanto, $b=7,c=25,a=20$. Pero en ese caso a,b,c no están en orden creciente. (Esta conclusión se pudo hacer desde antes de estos cálculos, pues en $a,b,a+1$, no hay lugar para la $b$ --dado que los lados son enteros positivos.)

Si $c-a=9$ (no puede ser 4 pues ambos c y a serían de la misma paridad y...), entonces $b=21,a=20,c=29$. Se sigue que $ab/2=210$.

Si $c-a=25$, entonces $b=35, a=12, c=37$. De aquí que $ab/2=210$.

Y son todos los casos. En síntesis, hay dos triángulos rectángulos que cumplen las condiciones (20,21,29 y 12,35,37) y ambos tienen área 210 unidades cuadradas.