Geometría

Problema

Medida de un ángulo: elemental pero...

Enviado por jmd el 24 de Agosto de 2010 - 11:08.

Los ángulos en la base $ BC $ del isósceles $ ABC $ miden 40 grados. El lado $ AB $ se prolonga hasta el punto $ D $ de manera que $ B $ quede entre $ A $ y $ D $ y $ AD=BC $. ¿Cuánto mide el ángulo $ BCD $?

 
Problema

Puntos medios, líneas medias e isósceles rectángulos

Enviado por jmd el 15 de Agosto de 2010 - 08:50.

Sean $ D,E $ puntos en el exterior del triángulo $ ABC $ tales que los triángulos $ ABD $ y $ ACE $ son isósceles rectángulos en $ D $ y $ E $, respectivamente. Demostrar que si $ F $ es punto medio de $ BC $, entonces el triángulo $ DEF $ es isósceles rectángulo en $ F $

 
Problema

Circuncírculo de equilátero

Enviado por jmd el 15 de Agosto de 2010 - 07:44.

Sea $ M $ un punto en el arco $ AB $ del circuncírculo del triángulo equilátero $ ABC $. Demostrar que $ AM+MB=MC $.

 
Problema

Triángulo dividible

Enviado por jmd el 14 de Agosto de 2010 - 06:53.

En un triángulo isósceles $ ABC $, con $ AB=AC $ y ángulo en A de 20 grados, los puntos $ D $ en $ AC $ y $ E $ en $ AB $ son tales que $ \angle{DBC}=60 $ y $ \angle{ECB}=50 $. Encontrar, con prueba, la medida del $ \angle{EDB} $

 
Problema

No todos los triángulos son isósceles

Enviado por jmd el 10 de Agosto de 2010 - 18:25.

Demostrar que, en un triángulo ABC, la bisectriz del ángulo A y la mediatriz del lado BC concurren en el circuncírculo de ABC.

 
Problema

Uno de "si y sólo si" con escaleno

Enviado por jmd el 31 de Julio de 2010 - 07:44.

Sea $ ABC $ un triángulo tal que $ AB>AC>BC $. Sea $ D $ un punto sobre el lado $ AB $ de tal manera que $ CD = BC $, y sea $ M $ el punto medio del lado $ AC $. Muestra que $ BD = AC $ si y sólo si $ \angle{BAC} = 2\angle{ABM}. $

 
Problema

Altura de triángulo pedal

Enviado por jmd el 29 de Julio de 2010 - 08:30.

Sean $ ABC $ un triángulo acutángulo y, $ AD, BE $ y $ CF $ sus alturas. La circunferencia con diámetro $ AD $ corta a los lados $ AB $ y $ AC $ en $ M $ y $ N $, respectivamente. Sean $ P $ y $ Q $ los puntos de intersección de $ AD $ con $ EF $ y $ MN $, respectivamente. Demuestra que $ Q $ es el punto medio de $ PD $.

 
Problema

Semejantes si y sólo si ángulo de 60

Enviado por jmd el 29 de Julio de 2010 - 08:24.

Sea $ ABC $ un triángulo rectángulo con ángulo recto en $ A $, tal que $ AB < AC $. Sea $ M $ el punto medio de $ BC $ y $ D $ la intersección de $ AC $ con la perpendicular a $ BC $ que pasa por $ M $. Sea $ E $ la intersección de la paralela a $ AC $ que pasa por $ M $ con la perpendicular a $ BD $ que pasa por $ B $. Demuestra que los triángulos $ AEM $ y $ MCA $ son semejantes si y sólo si .

 
Problema

Un punto en la paralela a la bisectriz

Enviado por jmd el 29 de Julio de 2010 - 08:13.

Sea $ ABC $ un triángulo y $ AD $ la bisectriz del ángulo $ \angle BAC $, con $ D $ sobre $ BC $. Sea $ E $ un punto sobre el segmento $ BC $ tal que $ BD=EC $. Por $ E $ traza la recta $ l $ paralela a $ AD $ y considera un punto $ P $ sobre $ l $ y dentro del triángulo. Sea $ G $ el punto donde la recta $ BP $ corta al lado $ AC $ y sea $ F $ el punto donde la recta $ CP $ corta al lado $ AB $. Muestra que $ BF=CG $)

 
Problema

Circuncírculo en circuncírculo

Enviado por jmd el 29 de Julio de 2010 - 07:28.

 Sea $ O $ el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo $ ABC $, y sea $ P $ un punto cualquiera sobre el segmento $ BC $ ($ P \neq B $ y $ P \neq C $). Supón que la circunferencia circunscrita al triángulo $ BPO $ corta al segmento $ AB $ en $ R $ ($ R \neq A $ y $ R \neq B $) y que la circunferencia circunscrita al triángulo $ COP $ corta al segmento $ CA $ en el punto $ Q $ ($ Q \neq C $ y $ Q \neq A $).

  • (i) Considera el triángulo $ PQR $; muestra que es semejante al triángulo $ ABC $ y que su ortocentro es $ O $.
  • (ii) Muestra que las circunferencias circunscritas a los triángulos $ BPO, COP $ y $ PQR $ son todas del mismo tamaño.