Sea PQRS un cuadrilátero tal que sus lados opuestos PR y QS se cortan en un punto T. Demostrar que PQRS es cuadrilátero cíclico si y sólo si $TR\cdot TP=TS\cdot TQ.$
Sugerencia
Sugerencia:
Usa potencia de T en el circuncírculo de PQR y con la condición llega a una igualdad de distancias desde T.
Solución
Solución:
Demostrar que la condición es necesaria es una tarea trivial (por potencia de T).
Para demostrar la suficiencia, consideremos el circuncírculo del triángulo PQR. Entonces, la potencia de T respecto al circuncírculo produce la igualdad $TS'\cdot TP=TR\cdot TQ$ (donde S' es el punto donde el circuncírculo corta a TP). Pero, por hipótesis, $TR\cdot TP=TS\cdot TQ.$ De aquí que $TS'\cdot TP=TS\cdot TP$. Es decir, TS'=TS. Pero ambos puntos, S y S', están sobre el segmento TP. Luego, coinciden.
