Encuentra el ángulo

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El triángulo ABC es rectángulo en C, y las bisectrices de sus ángulos en A y B cortan los lados BC y CA en P y Q respectivamente. Los puntos M y N sobre el lado AB son los pies de las perpendiculares bajadas desde P y Q, respectivamente. ¿Cuánto vale el ángulo MCN?
 

Ver también: 
Bisectriz



Imagen de sadhiperez

Dada la figura: Podemos

Dada la figura:

Podemos observar que los cuadrilateros CAMP y BCQN son ciclicos. Digamos que el angulo <CAP= <PAB= α  y el angulo <QBA=<QBC=β.


Viendo el cuadrilatero CAMP; el <BCM=PAB= α y viendo el cuadrilatero BCQN el <ACN=QBA=β.

Tenemos que 2α+2β=90 entonces α+β=45. Llamemos x al angulo MCN  y tenemos que α+β+x=90 entonces 45+x=90 donde x=45.
Entonces el Angulo MCN mide 45 grados.

 

 

PS: zzq' graciaas por corregir el error(:

Imagen de j_ariel

 ¿<BCN=PAB= &alpha;?¿segura?

 ¿<BCN=PAB= α?¿segura? Ignorando eso, buena solución ;D