Sea $I$ el incentro de un triángulo acutángulo $ABC$. La recta $AI$ corta por segunda vez al circuncírculo del triángulo $BIC$ en $E$. Sean $D$ el pie de la altura desde $A$ sobre $BC$ y $J$ la reflexión de $I$ con respecto a $BC$. Muestra que los puntos $D$, $J$ y $E$ son colineales.
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Problema 1. 29a Olimpiada Mexicana de Matemáticas
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Problema 2. 29a Olimpiada Mexicana de Matemáticas
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Problema 3. 29a Olimpiada Mexicana de Matemáticas
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Problema 4. 29a Olimpiada Mexicana de Matemáticas
Por las condiciones del
Por las condiciones del problema, demostrar que $ \frac{AD}{IJ} = \frac{AE}{IE}$ será suficiente, un buen ejercicio es demostrar que $E$ es excentro asociado al vértice $A$, sea $M$ un punto en la recta $IJ$ (con I entre M y J) tal que $2MI = IJ$ ahora, $AM$ corta a $BC$ en $F$, también $J'$ la interseccion de $IJ$ con $BC$. Por http://www.matetam.com/blog/entradas-jmd/un-problema-clasico-homotecia tenemos que $F$ es el punto de tangencia del excirculo asociado al vértice $A$, de aqui que $FE$ sea paralela a $MJ$ asi:
$$\frac{AE}{IE} =\frac{AF}{MF} = \frac{AD}{MJ'}$$ y como $MJ' = IJ$ acabamos.