Problema 8 Geometrense

Comenzando con la solucion. Sea D y E los pies de las perpendiculares de B y C sobre AC y AB respectivamente, de ahi es claro que por lo que D y E estan en la circunferencia de diametro BC, y ademas H es la interseccion de las diagonales del cuadrilatero BCDE.(pero ese cuadrilatero es ciclico).....ahora bien...les pondre algunos teoremas de polos y polares asi como que es un polo y el polar.... Sea C una circunferencia de centro O. Y sea P un punto fuera de la circunferencia. El polar de P, se obtiene al trazar las tangentes a C, y unir los puntos de tangencia. Esa recta es el polar de P, asi mismo se dice que el polo de dicha recta es P. Sea P' el punto en que el polar de P toca a OP, es claro que OP y el polar de P son perpendiculares....Bueno estos son algunos hechos de polo-polar....ahora pondre algunos teoremas... Teorema de La Hire: Sean x, y los polares de X,Y respectivamente, se cumple que X esta en y si y solo si Y esta en x. Si Observamos nuestra figura del problema, tenemos por todo lo que ya e dicho que PQ es polar de A y H esta en PQ si y solo si A esta en el polar de H por el teorema de La Hire. Ahora pondre algunos resultados inmediatos del teorema de La Hire. 1: Sean x, y, z los polares de distintos puntos X, Y, Z, respectivamente. Entonces Z=x*y si y solo si z=XY 2: Sean W, X, Y, Z cuatro puntos sobre C(la circunferencia). Entonces el polar p de P=XY*WZ esta en la linea QR con Q=WX*ZY y R=XZ*YW. donde * denota interseccion. De ello usando el segundo resultado tenemos que el polar de A esta sobre H=BD*CE y X=BC*DE, es decir H esta en el polar de A...pero el polar de A es PQ!!!!!! de ahi es claro que H esta sobre PQ como nos piden demostrar... Al parecer el problema de la geometrense si era de geometria pesada....polos y polares....no es un tema muy comun...pero si muy util