Problema 8(G)

Por dato, los triángulos $ ABC $ y $ BCD $ son semejantes. De aquí que $AB/BD=BC/DC=CA/BC.$  Es decir, nombrando de la manera usual a los lados de $ABC$, $c/BD=2a/b=b/a.$  Lo cual da lugar a las ecuaciones pitagóricas $2a^2=b^2$ y $c^2=2BD^2.$

Parecería que de estas ecuaciones nada se ha obtenido, pero por lo menos sugieren dos construcciones auxiliares --gracias a una evocación del teorema de Pitágoras. La ecuación $2a^2=b^2$  sugiere construir sobre el lado $b$ un isósceles rectángulo de lados $a$; y la ecuación $c^2=2BD^2$ sugiere construir sobre el lado $c$ un isósceles rectángulo de lados $BD.$

La primera construcción auxiliar sugerida por las ecuaciones se logra trazando el círculo de diámetro $AC (=b)$ con centro en el punto medio $ D.$  Y se ve que esta construcción también incluye a la otra que había quedado sugerida.

Porque, al prolongar $CB$ hasta cortar ese círculo en $F$ y trazar la mediana a la hipotenusa $AC$ del triángulo rectángulo $AFC$, se ve que $FBD$ es isósceles. Y esto porque la mediana a la hipotenusa define dos isósceles:  $FCD$ es isósceles con ángulo en $ C $ de medida $x$, y  $FDA$  es isósceles con ángulo en el vértice $D$ de medida $2x$ --central correspondiente al arco FA. Pero el ángulo $ADB$ es $3x$ --por ser externo en el triángulo $BDC$. Así que $FB=BD$  ($FBD$ es isósceles).

Aplicando Pitágoras al triángulo rectángulo $ABF$ se tiene $c^2=FB^2+FA^2$, es decir, $c^2=BD^2+FA^2.$  Pero ya sabíamos que $c^2=2BD^2.$  De aquí que $FA=FB=BD.$  Y se concluye que $ABF$ es isósceles rectángulo.

Focalizando de nuevo el triángulo isósceles $ADF$, debería ser claro --por los ángulos identificados hasta aquí-- que sus ángulos en la base son de $90-x$. Pero, en vista de que sabemos que $AFB$ es isósceles rectángulo, se tiene que $45=90-3x.$  Es decir, $x=15$ grados, y se logra ver que los ángulos $A,B,C$ del triángulo $ABC$ dado miden, respectivamente, $30,135, 15$ grados.