Problema de Excalibur Probleam Corner 309

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En un triángulo acutángulo ABC donde AB < AC. Sea H el pie de la perpendicular de A sobre BC y M el punto medio de AH. Sea D el punto de tangencia del incirculo del triangulo ABC en BC. La linea DM intersecta por segunda vez al incirculo en N. Probar que los angulos BND y CND son iguales.




Imagen de Luis Brandon

Guauuu tu solucion es

Guauuu tu solucion es demasiado creativa, esta, sin palabraste mandare la que yo tengo, es por ciclicos. para que la cheques, saludos, pd.no hay sugerencia para el de la cuerda,mediana y diametro?? hahah saludos chao.PDcuanto trabajo te costo ese problema???
Imagen de jesus

La verdad me costó toda la

La verdad me costó toda la tarde de antier resolverlo. Me pareció un problema muy bueno. Lo de usar los conjugados armónicos fué casi de inmediato, pero no sabía como usarlo. Busqué otras alternativas hasta que regresé a esta idea.

Desde que me dí cuenta que podía poner una igualdad usando sólo datos del triángulo supe que ya estaba el problema resuelto, pasó como una hora de manipulaciones algebraicas hasta que la reduje a la última igualdad. Se ve largo, pero en realidad son puras cuentas.

Ayer, antes de poner la solución,  pensé en buscar otra usando el concepto de proyectividades, llegué a un par de cosas interesantes pero decidí mejor subir la solución de una vez. Si vuelvo a tener tiempo, haré una solución con proyectividades.

Espero que me mandes tu solución, apuesto a que es mucho más elegante.

Bueno, saludos Brandon y a ver si al rato pongo una sugerencia en el otro problema (cuerda, mediana y diámetro)

Imagen de Luis Brandon

Este problema esta propuesto

Este problema esta propuesto en el mathematical exaclibur en el probleam corner Volumen 13, Numero 3, tarde pero seguro aqui va otra solucion espero y me entiendan, es la misma que le mande a Jesus.

Sea $I$ el centro del incirculo, $K$ el punto medio de $BC$ y sea $P$ la interseccion de $DM$ con la mediatriz de $BC$ , provare que el cuadrilatero $BPCN$ es ciclico y en consecuencia tendremos el resultado pedido, para ello es suficiente demostrar que $DN(DP)=DB(DC)$

Sean $a, b, c$ las medidas de los lados $BC, CA, AB$ respectivamente, y sea $s$ el semiperimetro del triangulo, de ahi es claro que $DB=s-b$ y que $DC=s-c$. Sea $r$ el radio del incirculo y $(ABC)$ el area del triangulo. Sea $AH=h_a$ y $\angle{CDN}=\tau$

De ahi algunas equivalencias de $(ABC)$ son:

$ah_a/2=rs=\sqrt{s(s-a)(s-b(s-c)}$

Ahora las siguientes relaciones son claras(o mas bien faciles de provar)

$DK=DC-KC=\frac{a+b-c}{2}-\frac{a}{2}=\frac{b-c}{2}$

$DH=DB-HB=\frac{a+c-b}{2}-c\cos(\angle{ABC})=\frac{a+c-b}{2}-\frac{a^2+c^2-b^2}{2a}=\frac{(b-c)(b+c-a)}{2a}$
       $=\frac{(b-c)(s-a)}{a}$

Imagen de Luis Brandon

Ademas De ahi tenemos

Ademas $DN=2r sen\tau , DP=DK/\cos{\tau}=(b-c)(2 \cos{\tau})$ De ahi tenemos que

$DN(DP)=r(b-c) \tan{\tau}=r(b-c)\frac{MH}{DH}=r(b-c)\frac{h_a/2}{(b-c)(s-a)/a}$
    $=r\frac{ah_a/2}{(s-a)}=\frac{rsrs}{s(s-a)}=\frac{(ABC)^2}{s(s-a)}=\frac{a(s-a)(s-b)(s-c)}{s(s-a)}=(s-b)(s-c)=DB(DC)$

Por consiguiente se sigue que el cuadrilatero $BPCN$ es ciclico...pero por que se cumple lo pedido...es claro no? como podras ver Jesus no es muy vistosa como tu solucion usando conjugados armonicos, pero se llega a lo pedidousando cosas poquito mas basicas, aunque no paresca larga si lo es....de los calculos faciles de probar se usa ley de cosenos , factorisaciones no muy faciles y una vez ley de senos y trigonometris!!!se podra sin ella?

saludos!!!!!

Imagen de jesus

Gracias por el piropo, pero

Gracias por el piropo, pero yo creo que mi solución no es tan vistosa. Tiene eso de los conjugados armónicos, pero no es más que otra forma de atacar el problema. Yo siento que tu solución y la mía son muy similares: tu por un lado planteaste probar que un cuadrilátero es cíclico y yo por otro lado probar que la tangente de dos ángulos es la misma. Ambos, para hacerlo, tuvimos que pasar por una compleja manipulación de expresiones.

En mi caso, puede espantar el concepto de conjugados armónicos, pero es un concepto casi tan complicado como el de cíclicos. La difernencia entre estos dos conceptos es que el de conjugados armónicos es menos conocido y tratado como tema avanzado.

Yo sigo creyendo que una solución más padre sería con el uso de geometría proyectiva, o más específicamente, con proyectividades.

Saludos

Imagen de j_ariel

Lo intentaré en esta semana,

Lo intentaré en esta semana, se ve muy interesante. En el Excalibur luego ponen problemas muy bonitos, pero hay unos bien locochones que, ¡híjoles!, espantan a veces, jajaja xD. Gracias por la figura :D, intentaré unas cosas locas a ver si sale (la trigonometría me hace ojitos por lo mientras, jajaja xD). Saludoz.