QUINTO EXAMEN SELECTIVO

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Problema 1 Dado un triángulo acutángulo ABC se trazan las circunferencias c1 de diámetro AB y c2 de diámetro BC y se ubican las intersecciones M y N y P y Q de las alturas CC’ y BB’ (vistas como rectas) con c1 y c2, respectivamente. Demostrar que los puntos M, N, P y Q pertenecen a una misma circunferencia.

(Nota: Hubo un error de redacción en este problema. Así como está no tiene mucho sentido. La errata es: donde dice “diámetro BC” debería decir “diámetro AC”. Además, la palabra “respectivamente” es también aquí ambigua –M y N en c1 y P y Q en c2, fue el significado intentado. Mil disculpas por este descuido.)

Problema 2 Sean c1 y c2 dos circunferencias que se intersectan en dos puntos A y B. La tangente a c2 por A intersecta a c1 en C y la tangente a c1 por A intersecta a c2 en D. Un rayo que pasa por A, interior al ángulo CAD, intersecta a c1 en M, a c2 en N y al circuncírculo del triángulo ACD en P.

  • a) Demostrar que los triángulos NPD y MCD son semejantes.
  • b) Demostrar que los triángulos AMC y DPC son semejantes.
  • c) Demostrar que AM es igual aNP.

Problema 3 Dos circunferencias k1, de centro O1 y k2 de centro O2 se cortan en M y N.

  • a) Demostrar que la línea de centros O1O2 es mediatriz de la cuerda común MN.
  • b) Demostrar que N está sobre el segmento que une los puntos X y Y diametralmente opuestos a M en k1 y k2 respectivamente.
  • c) Demostrar que la línea de centros es paralela a XY y mide la mitad de ésta.

Problema 4 En el contexto del problema 3, sean P en k1 y Q en k2 tales que MPX y MQY son isósceles rectángulos (P y N en lados opuestos del diámetro MX y Q y N en lados opuestos del diámetro MY). Sea T el punto en que el circuncírculo de PNQ corta por segunda vez a XY.

  • a) Demostrar que 01NT02 es cuadrilátero cíclico.
  • b) Demostrar que T es punto medio de XY.