Trapecio circunscrito
Enviado por jmd el 5 de Junio de 2009 - 12:50.
Un trapecio $ABCD$, con $AB$ paralela a $CD$, está circunscrito a una circunferencia (los 4 lados del trapecio son tangentes a la circunferencia) con centro $O.$ Sean $M, N, P, Q$ los puntos de tangencia de la circunferencia con los lados $AB, BC, CD, DA,$ respectivamente. Demuestra que $AQ\cdot QD = BN\cdot NC.$
Comentarios
#1 Profe; Yo tengo una solucion
Profe; Yo tengo una solucion distinta; me podria decir si esta bien;
Queremos demostrar que AQ*QD=BN*NC por lo que podemos demostrar que AQ/NC=BN/QD
Tenemos que;
AM=AQ
MB=BN
QD=DP
NC=PC
Trazemos las diagonales AC y BD y la recta MP y llamemos E al punto donde concurren;
<EAM=ECP
<AEM=CEP
<EMA=PEC
Por lo que podemos afirmar que el triangulo AME~CPE
De manera similar;
<BME=DPE
<BEM=DEP
<EMB=EDP
y el triangulo BME~DPE
De donde obtenemos las razones:
AM/CP=ME/PE=AE/CE
BM/DP=ME/PE=EM/EP
Donde; AM/CP=AQ/NC=ME/PE=BM/DP=BN/QD;
Entonces: AQ/NC=BN/QD; que era lo que queriamos demostrar, entonces AQ*QD=BN*NC
Profe encerio me gustaria que me dijiera si estoy en lo correcto; y de lo contrario; que me corrigiera:D
Saludos desde Reynosa:D
Sadhi
18/06 ONMAS NACIONAL GDL:]
21Dias-> ESTATAL OMM:D:D:D
#2 Todo está bien, excepto por
Todo está bien, excepto por la concurrencia --supones que concurren las diagonales con MP pero... lo voy a checar.
Haz tu figura en geogebra y chécalo tu misma, moviendo la figura.
Te saluda
jmd
PD: Ya ví que sí concurren --bueno en una prueba visual con geogebra. Así que para obtener los 7 puntos tienes que demostrarlo :(
José Muñoz Delgado
#3 Si; Creo que ya lo habia
Si; Creo que ya lo habia checado; aunqe si; yo sabia que no podia suponer que concurrian; pero en fin;
GRACIAS PROFE:)
#4 Ahora sí podrías decir: Por
Ahora sí podrías decir:
Por teorema conocido, las cuerdas y diagonales concurren en un mismo punto $R$. Aplicando la propiedad de la cuerda y la diagonal de un cuadrilátero circunscrito, se tiene $QA/AR(RC/CN=MB/BR(RD/DP)$. Pero, por propiedad de las tangentes, $DP=QD$ y $MB=BN.$ De aquí que, $AQ\cdot{QD}=BN \cdot {NC} [AR/RC\cdot {RD/BR}].$ Y como los triángulos $ABR$ y $CDR$ son semejantes ($AB//CD$), entonces las razones en el paréntesis se cancelan.
José Muñoz Delgado
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