Geometría

Problema

Problema 11

Enviado por Roberto Alain R... el 12 de Junio de 2015 - 00:42.

Tres cuadrados idénticos  $ABCD, AEFG, AHIJ$ (todos etiquetados en contra de las manecillas del reloj) tienen el vértice $A$ en común y los ángulos $JAB, DAE, GAH$ son iguales. Calcular el ángulo $GBH$

Problema

Uno de si y solo si, con reflexión

Enviado por German Puga el 18 de Abril de 2015 - 21:38.

Sea $H$ el ortocentro y $G$ el gravicentro del triángulo acutángulo $\triangle ABC,$ con $ AB \neq AC.$ La linea $AG$ intersecta al circuncirculo de $\triangle ABC$ en $A$ y en $P$. Sea $P'$ la reflexión de $P$ en la línea $BC.$ Demuestra que $\angle CAB = 60°$ si y solo si $HG = GP'.$

Problema

El primero de la EGMO

Enviado por German Puga el 18 de Abril de 2015 - 20:18.

Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo, y sea $D$ el pie de la altura trazada desde $C$. La bisectriz de $\angle ABC$ intersecta a $CD$ en $E$ y vuelve a intersectar al circuncírculo $\omega$ de $\triangle ADE$ en $F$. Si $\angle ADF = 45°$, muestra que $CF$ es tangente a $\omega$.

Problema

Trapecio Isósceles circunscrito a una circunferencia

Enviado por Poronga108 el 21 de Febrero de 2015 - 19:32.

Un trapecio Isósceles ABCD esta circunscrito a una circunferencia, sus bases miden 4mts y 9mts. Hallar el área del trapecio.

 

Problema

Mediatrices que pasan por un punto fijo

Enviado por German Puga el 22 de Noviembre de 2014 - 21:43.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $P,Q$ puntos sobre $AB$ y $AC$ respectivamente, tal que $AP = CQ$. Demostrar que la mediatriz de $PQ$ pasa por un punto fijo al variar $P$.

Problema

XXVIII OMM Problema 4

Enviado por vmp el 11 de Noviembre de 2014 - 11:36.

Sea $ABCD$ un rectángulo con diagonales $AC$ y $BD$. Sean $E$ el punto de intersección de la bisectriz del ángulo $\angle CAD$ con el segmento $CD$, $F$ el punto sobre el segmento $CD$ tal que $E$ es el punto medio de $DF$ y $G$ el punto sobre la recta $BC$ tal que $BG=AC$ (con $C$ entre $B$ y $G$).

Muestra que la circunferencia que pasa por $D$, $F$ y $G$ es tangente a $BG$.

Problema

XXVIII OMM Problema 3

Enviado por vmp el 10 de Noviembre de 2014 - 18:16.

Sean $\Gamma_{1}$ una circunferencia y $P$ un punto fuera de $\Gamma_{1}$. Las tangentes desde $P$ a $\Gamma_{1}$ tocan la circunferencia en los puntos $A$ y $B$. Considera $M$ el punto medio del segmento $PA$ y $\Gamma_{2}$ la circunferencia que pasa por los puntos $P$, $A$ y $B$. La recta $BM$ interesecta de nuevo a $\Gamma_{2}$ en el punto $C$, la recta $CA$ intersecta de nuevo a $\Gamma_{1}$ en el punto $D$, el segmento $DB$ intersecta de nuevo a $\Gamma_{2}$ en el punto $E$ y la recta $PE$ intersecta a $\Gamma_{1}$ en el punto F (con E entre P y F). Muestra que las rectas $AF$, $BP$ y $CE$ concurren.

Problema

Senos cuadráticos

Enviado por jmd el 3 de Septiembre de 2014 - 13:52.
Demostrar que un triángulo ABC es rectángulo si y sólo si 
$$\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C=2$$
Problema

Una recta variable que pasa por un punto fijo

Enviado por jmd el 3 de Septiembre de 2014 - 13:40.

El punto P está fijo en una circunferencia y el punto Q está fijo en una recta. Un punto variable R se mueve sobre la circunferencia pero sin alinearse con P y Q. La circunferencia por P,Q y R corta a la recta de nuevo en V. Demostrar que la recta VR pasa por un punto fijo.

Problema

Líneas isogonales y circunferencias con centro en los lados.

Enviado por jesus el 26 de Julio de 2014 - 10:17.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico convexo. Sea $H$ un punto sobre $BD$ tal que $AH$ y $AC$ son líneas isogonales (reflejadas en la bisectriz del ángulo en $A$).

Consideremos $\mathcal{C}_B$ y $\mathcal{C}_D$ las circunferencias con cuerda $HC$ y con sus respectivos centros en $AB$ y $AD$.

Llamemos $S$ y $P$ a la intersección de $\mathcal{C}_B$ con la recta $AB$; el vértice $A$ más cerca de $S$ que de $P$. Análogamente llamemos $T$ y $Q$ a la intersección de $\mathcal{C}_D$ con la recta $AD$; el vértice $A$ más cerca de $T$ que de $Q$. Entonces se satisfacen las siguiente propiedades

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