Geometría
¿Trazo auxiliar? OK Pero... ¿cómo lo descubres?
En un triángulo isósceles AOB, rectángulo en O, se eligen los puntos P,Q,S en los lados OB,OA,AB, respectivamente, y un punto R interior al triángulo, de tal manera que el cuadrilátero PQRS sea un cuadrado. Si la razón de áreas entre el cuadrado y el triángulo es 2/5, calcular la razón OP/OQ.
Cuadrilátero en un cubo
En un cubo de arista 6 los puntos medios B,D de dos aristas opuestas, y dos vértices opuestos A,C pero no en las aristas de los puntos medios B,D, forman un cuadrilátero ABCD. Encontrar el área de ese cuadrilátero.
Semicírculo y la descomposición en dos sumandos de un segmento.
Sea $$BC$ el diametro de una semicirculo y sea $A$ el punto medio del semicirculo. Sea M un punto sobre el arco $AC$. Seam $P$ y $Q$ los pies de las perpendiculares desde $A$ y C a la linea $BM$, respectivamente.
Demustra que $BP=PQ+QC$
Áreas enteras de triángulos
El área del triángulo $ ABC $ es un entero. Sobre los lados $ BC$ y $AC$ se eligen los puintos $X$ y $Y$, respectivamente. Los segmentos $AX$ y $ BY$ se cortan en un punto $P$ dentro del triángulo $ ABC $. El área de $BPX$ es 1, la de $APY$ es 2, y la de $APB$ es un entero. Encontrar el área del triángulo $ABC.$
Segmentos iguales y colinealidad
Sea ABC un triangulo, M el punto medio de CA, P el punto donde la bisectriz desde C intersecta a AB; E y Q son los puntos donde una ceviana desde A intersecta a la bisectriz y al lado BC, respectivamnete (Q no esta en la prolongacion de BC). Demuestra que los segmentos PQ y CQ son iguales, si y solo si B, E y M son colineales.
Cuadrilátero cícliclo dentro de un cuadrilátero circunscrito
Sea ABCD un cuadrilátero para el cuál existen cuatro puntos P, Q, R y S sobre los lados AB, BC, CD y DA respectivamente y tales que PB=BQ, QC = CR, RD = DS y SA = AP. Demuestra que:
- a) El cuadrilátero ABCD es circunscrito
- b) El cuadrilátero PQRS es cíclico.
IMO4_2009_invertido
Sean ABC un triángulo isósceles rectángulo en A, J su incentro y AD, BE las bisectrices de los ángulos A y B, respectivamente. La altura AD es tangente al incírculo del triángulo ADC (con incentro en I) en P y al lado CA en Q. Demostrar que:
Equilátero seccionado (3G, take_home_1)
Sea ABC un triángulo equilátero y A’, B’ , C’, puntos sobre los lados BC, CA y AB, respectivamente, tales que $$AC'/C'B=BA'/A'C=CB'/B'A=2$$ Las intersecciones de los segmentos AA’, BB’ y CC’ determinan un triángulo interior, digamos, DEF.
Una propiedad trivial de la potencia de un punto
Sean dados tres puntos distintos O, P, Q en el plano. Demostrar que OP=OQ si y sólo si P y Q tienen la misma potencia respecto a un círculo cualquiera con centro en O.
IMO 2009 Problema 2
Sean ABC un triángulo de circuncentro O, P y Q puntos sobre AB y AC, respectivamente, y K, L, M los puntos medios de BQ, CP y PQ, respectivamente. Si el circuncírculo del triangulo KLM es tangente a PQ, demostrar que OP=OQ.