Conjuntos cuadrilibres

Enviado por jmd el 18 de Mayo de 2013 - 05:46.
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Un subconjunto del conjunto {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} se dice cuadrilibre si la suma de los elementos de cualquier subconjunto de él no es un cuadrado. Por ejemplo, el subconjunto {1,3,8} no es cuadrilibre ya que tanto {1} como {1,8} son subconjuntos de él. ¿Cuál es el tamaño más grande que puede tener un subconjunto cudrilibre?

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Eliminamos el 1, el 4 y el 9,

Enviado por Usuario anónimo (no verificado) el 29 de Mayo de 2013 - 21:48.
Eliminamos el 1, el 4 y el 9, ya que son cuadrados perfectos y todos los subconjuntos que los contienen no son cuadrilibres. Ahora consideremos que de los subconjuntos $\{2, 7\}$ y $\{3, 6\}$ no podemos tomar ambos elementos ya que $2 + 7 = 3 + 6 = 9 = 3^2$, entonces entre esos dos conjuntos tomamos como maximo 2 elementos. Si queremos que nuestro subconjunto tenga 5 elementos, forzosamente tenemos que tomar dos numeros de los subconjuntos antes mencionados, y tambien los 3 que no hemos considerado (el 5, el 8 y el 10), en particular, tomamos un numero del subconjunto $\{2, 7\}$, digamos que este numero que tomamos es $a$, observemos que si tomamos el 5, el 8 y el 10, forzosamente se forma un conjunto no cuadrilibre, considerando ambos posibles valores de $a$: Si $a = 2, 2 + 5 + 8 + 10 = 25 = 5^2$, mientras que si $a = 7$, entonces $7 + 8 + 10 = 25 = 5^2$ Con esto vemos que no es posible formar un subconjunto cuadrilibre de 5 elementos. Ahora para probar que el maximo subconjunto cuadrilibre tiene 4 elementos, basta con dar un ejemplo de uno que tenga 4, como el $\{2, 3, 5, 8\}$, y con esto terminamos.
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Exceptuando el ejemplo de

Enviado por jesus el 1 de Junio de 2013 - 19:59.

Exceptuando el ejemplo de cuatro elementos tu argumento está completo. En especial está muy bien la demostración de que no hay subconjuntos cuadrilibres de A = {2, 3, 5, 6, 7, 8, 10} de 5 elementos.

Te comparto mi argumentación de ese paso. Dividimos a A en los tres conjuntos ajenos {2,7}, {6,10} y {3, 5, 8}. De ninguno de estos conjuntos podemos tomar todos sus elemenos, o se formará un cuadrado: $2+ 7 = 3^2$, $6+10 = 4^2$ y $3+5+8 = 4^2$. Por ello, un conjunto cuadrible a lo más puede tener 1+1+2 = 4 elementos.

Saludos

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OK Pero 3+5+8=16. También te

Enviado por jmd el 30 de Mayo de 2013 - 11:53.

OK Pero 3+5+8=16. También te faltó decir que de {6,10} no se puede tomar ambos.

Te saluda

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Ups :P, pensé que si era

Enviado por Usuario anónimo (no verificado) el 30 de Mayo de 2013 - 19:24.
Ups :P, pensé que si era cuadrilibre, pero bueno, creo que el subconjunto $\{2, 3, 5, 10\}$ si es cuadrilibre (y si no ya me rindo :S), si pensé lo del {6, 10} pero no pensé que fuera muy útil.
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  Es increible ver cómo un

Enviado por jmd el 2 de Junio de 2013 - 07:49.

 

Es increible ver cómo un problema elemental presenta una dificultad tan grande --la demostración de que no pueden existir cuadrilibres de 5 elementos. La solución de Jesús es directa y elegante --una partición adecuada del conjunto salva la dificultad con un argumento cristalino. 
 
Notemos que la partición obvia es la de anónimo: $\{2,7\}$, $\{3,6\}$,$\{5,8,10\}$. 
 
Nota: 
 
El argumento de anónimo es correcto, pero no es convincente (porque queda la sensación de que no consideró  $\{3,6\}$ --y se siente que algo le falta).
 
Viéndolo de nuevo, creo que sería convincente si le agregara (antes de "Con esto vemos que...") una aclaración más o menos así:
 
"Por tanto, con $\{2,7\}$ y $\{5,8,10\}$ se puede formar un cuadrilibre de a lo más 3 elementos. Así que, al agregar uno de los elementos de $\{3,6\}$, el cuadrilibre sería de a lo más 4." 
 
Y, bueno, le ofrezco una disculpa a anónimo por mi comentario anterior que parece una tacha. Pero hay que decir que su comentario-solución al problema de cuadrilibres es lo que ha dado pie para este valioso intercambio de comentarios. Las gracias le sean dadas. 
 
Los saluda
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