Números sinaloenses

Una forma de resolver este problema (¿por qué les ponen problemas tan difíciles a los niños?) es mediante las clases residuales de la división entre 13 --sugerido por el enunciado. ($M(13)$ se usará para designar a un número que es múltiplo de 13.)

Así, $2013=13(154)+11=20a+13b=13a +7a+13b=7a+13(a+b)$. Por tanto, $7a+M(13)=11$.

Ahora "despejamos" la $a$ multiplicando por 2: $22=14a+M(13)=a+M(13)$. De aquí que $a=9+M(13)$. Pero entonces, $b=4+M(13)$.

Lo que sigue (si no viene a la mente algo más) es usar fuerza bruta enlistando los múltiplos de 13, sumando 9 para la a y 4 para la b hasta que se llegue a la primera solución.

k     13k   13k+4    13k+9
1     13      17      22
2     26      30      35
3     39      43      48
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
etc.

Pero la búsqueda se facilita si se observa que, de acuerdo a la ecuación $20a+13b=2013$, $20a$ termina en cero y, en consecuencia, $13b$ debe terminar en 3. Ésta es la clave de una solución informada. Porque entonces $b$ debe terminar en 1.

Con esta nueva información, se llega a la primera solución relativamente rápido: $b=121=9(13)+4$ y $a=22=13+9$.

Para terminar de resolver el problema hay que decir que la siguiente $b$ que cumple es 251 --pero ésta resulta excesiva. Así que los únicos sinaloenses son $a=22,b=121$.

Nota: La solución que envió Eduardo Almazán, caracteriza la $a$ y la $b$ con aritmética modular --como en la solución aquí presentada-- y después acota la $a$ (no puede ser mayor que 100). Esto reduce la búsqueda a unas cuantas posibilidades para la $a$ (22, 35, etc.) y, para cada una de esas posibilidades calcula la $b$. (Por ejemplo, si $a=22$ entonces $b=121$.) Finalmente verifica, en cada una de esas posibilidades, que $a+b$ sea múltiplo de 13. Con ello se descartan todas excepto (22,121). ¡Genial!