Números

Problema

Cuadrado perfecto de cuatro cifras

Enviado por jmd el 25 de Agosto de 2010 - 17:33.

Sea $m$ un cuadrado perfecto de cuatro cifras menores que 9. Sumando una unidad a cada una de las cifras de $m$ se forma otro cuadrado perfecto. Encontrar $m$ .

Problema

La factorización prima es única

Enviado por jmd el 13 de Agosto de 2010 - 17:36.

Encontrar todos los pares $(x,y)$ de enteros que satisfacen la ecuación $2^x+1=y^2$

Problema

Diez consecutivos son divisores --pero no 11

Enviado por jmd el 31 de Julio de 2010 - 07:09.

Encuentra todos los enteros positivos $N$ con la siguiente propiedad: entre todos los divisores positivos de $N$ , hay 10 números consecutivos, pero no 11.

Problema

La arista es el MCD de sus vértices

Enviado por jmd el 31 de Julio de 2010 - 06:50.

En los vértices de un cubo están escritos 8 enteros positivos distintos, uno
en cada vértice. Y en cada una de las aristas está escrito el máximo común
divisor de los números que están en los 2 vértices que la forman. Sean $A$ la suma de los números escritos en las aristas y $V$ la suma de los números escritos en los vértices.

(a) Muestra que $\frac{2}{3}A\leq V$ .
(b) ¿Es posible que $A = V$ ?

Problema

Expresado como suma de potencias --de sus primeros dos divisores

Enviado por jmd el 31 de Julio de 2010 - 06:12.

Sean $1=d_1 < d_2 < d_3 \cdots < d_k = n$ los divisores del entero positivo $n$ . Encuentra todos los números $n$ tales que $n = d_2 ^ 2 + d_3^3$ .

Problema

Los parientes de un número son sus múltiplos

Enviado por jmd el 29 de Julio de 2010 - 08:17.

Sea $ab$ un número de dos dígitos. Un entero positivo $n$ es “pariente” de $ab$ si:

El dígito de las unidades de $n$ también es $b$ .
Los otros dígitos de $n$ son distintos de cero y suman $a$ .

Por ejemplo, los parientes de 31 son 31, 121, 211 y 1111. Encuentra todos los números de dos dígitos que dividen a todos sus parientes .

Problema

Infinidad de enteros en sucesión de fracciones

Enviado por jmd el 29 de Julio de 2010 - 08:00.

Determina todas las parejas $(a,b)$ de enteros distintos de cero para las cuales es posible encontrar un entero positivo $x$ primo relativo con $b$ y un entero cualquiera $y$ , tales que en la siguiente lista hay una infinidad de números enteros:

$\frac{a+xy}{b},\frac{a+xy^2}{b^2},\frac{a+xy^3}{b^3},\ldots,\frac{a+xy^n}{b^n},\ldots$

Problema

Ternas compatibles

Enviado por jmd el 24 de Julio de 2010 - 08:04.

Tres enteros distintos forman una terna compatible si alguno de ellos, digamos $n$ , cumple que cada uno de los otros dos es, o bien divisor, o bien múltiplo de $n$ . Para cada terna compatible de números entre 1 y 2002 se calcula la suma de los tres números de la terna. ¿Cuál es la mayor suma obtenida? ¿Cuáles son las ternas en las que se obtiene la suma máxima?