Problemas - Teoría de números

Problema

Numeros enteros positivos

Enviado por cuauhtemoc el 12 de Noviembre de 2011 - 18:41.

Demuestre que sin importar que numeros enteros naturales sean $m$ y $n$, el numero  $mn ( m + n ) ( m - n )$ es divisible por 3.

Problema

Problema 1(IMO 2011)

Enviado por jmd el 19 de Julio de 2011 - 10:21.

Para cualquier conjunto  de cuatro enteros positivos distintos se denota la suma  con 

Problema

Problema 5 (IMO 2011)

Enviado por jmd el 19 de Julio de 2011 - 09:18.

Sea $f$ una función de los enteros a los enteros positivos. Suponga que, para cualesquiera dos enteros $m,n$, la diferencia $f(m)-f(n)$ es divisible entre $f(m-n)$. Demostrar que, para todos los enteros $m$ y $n$ con $f(m)\leq f(n)$, el número $f(n)$ es divisible entre $f(m)$.

Problema

Diofantina con tres primos (P4)

Enviado por jesus el 29 de Junio de 2011 - 16:45.

Encuentra todos los enteros positivos $p$, $q$ y $r$, con $p$ y $q$ números primos, que satisfacen la igualdad:

$$\frac{1}{p+1}+\frac{1}{q+1} - \frac{1}{(p+1)(q+1)} = \frac{1}{r}$$

Problema

Desliz tras desliz te lleva a 5 (P3)

Enviado por jesus el 29 de Junio de 2011 - 15:18.

Aplicar un desliz a un entero $n \geq 2$ significa tomar cualquier primo $p$ que divida a $n$ y remplazar $n$ por $\frac{n + p^2}{p}$.

Se comienza con un entero cualquiera mayor o igual que $5$ y se le aplica un desliz. Al número así obtenido se le aplica un desliz, y así sucesivamente se siguen aplicando deslices. Demuestra que sin importar los deslices aplicados, en algún momento se obtiene el número 5.

Problema

Caracterización de enteros con parte entera (Problema 1, OIM)

Enviado por jesus el 10 de Abril de 2011 - 09:18.

Sea $r \geq 1$ un número real que cumple la siguiente propiedad:

Para cada pareja de números enteros positivos $m$ y $n$, con $n$ múltiplo de $m$, se tiene que $\lfloor nr \rfloor$ es múltiplo de $\lfloor mr \rfloor$.

Probar que $r$ es un numero entero.

Nota: Si $x$ es un numero real, denotamos por $\lfloor x \rfloor$ el mayor entero menor o igual que $x$.

Problema

Divisibilidad entre el producto de tres primos (P6)

Enviado por jmd el 8 de Diciembre de 2010 - 14:09.

Sean $p,q,r$ números primos positivos distintos. Muestra que si $pqr$ divide a $$(pq)^r+(qr)^p+(rp)^q-1$$ entonces $(pqr)^3$ divide a $$3((pq)^r+(qr)^p+(rp)^q-1)$$

Problema

Huevos en la canasta

Enviado por jmd el 17 de Noviembre de 2010 - 14:03.

Cuántos huevos hay en la canasta si

--son menos que 6 docenas
--contados de a dos, sobra uno
--contados de a tres ninguno sobra
--contados de a 4,5,o 6 sobran tres.
Problema

Un cubo perfecto

Enviado por jmd el 15 de Noviembre de 2010 - 20:52.

 Un cierto número (entero positivo) multiplicado por 360 resulta en un cubo perfecto. Encontrarlo.

 
Problema

19 números en un tablero circular

Enviado por jmd el 22 de Septiembre de 2010 - 11:57.

En un tablero circular hay 19 casillas numeradas en orden del 1 al 19 (a la derecha del 1 está el 2, a la derecha de éste está el 3 y así sucesivamente, hasta el 1 que está a la derecha del 19). En cada casilla hay una ficha. Cada minuto cada ficha se mueve a su derecha el número de la casilla en que se encuentra en ese momento más una; por ejemplo, la ficha que está en el lugar 7 se va el primer minuto 7 + 1 lugares a su derecha hasta la casilla 15; el segundo minuto esa misma ficha se mueve a su derecha 15 + 1 lugares, hasta la casilla 12, etc. Determinar si en algún momento todas las fichas llegan al lugar donde empezaron y, si es así, decir cuántos minutos deben transcurrir.