Problemas - Teoría de números

Problema

Cuadrado perfecto y Factorial

Enviado por jesus el 22 de Julio de 2008 - 11:33.

Demostrar que $n! + 2004$ no es cuadrado perfecto para ningún entero positivo $ n $.

Problema

IMO 2008 (Problema 3)

Enviado por jesus el 21 de Julio de 2008 - 20:11.

Demuestra que existen infinitos enteros n tales que n2 + 1 tiene un divisor primo mayor que $2n+\sqrt{2n}$.

Problema

Cuadrado perfecto

Enviado por jmd el 9 de Julio de 2008 - 08:16.

Encontrar todos los enteros positivos de cuatro cifras que son cuadrados perfectos y tales que son de la forma aabb, es decir, las primeras dos cifras se repiten así como las dos últimas.

Problema

Clave secreta

Enviado por jmd el 5 de Julio de 2008 - 11:19.

Clave secreta

a) cinco cifras (dígitos)

b) el número es par

c)exactamente uno de los dígitos es impar

d)exactamente una de las cifras se repite, la que se repite es par y aparece en dos posiciones no consecutivas de la clave secreta

¿Cuántas claves (números de 5 cifras) son posibles bajo estas condiciones?

Problema

Dígitos finales, problema casi ateorico

Enviado por jmd el 4 de Julio de 2008 - 11:03.

Encontrar el entero positivo n más pequeño para el cual los últimos tres dígitos de 2007n (en la notación usual de base 10) son 837.

Problema

Sumar dígitos, problema ateórico

Enviado por jmd el 4 de Julio de 2008 - 09:25.

Un estudiante X forma un número entero escribiendo los números del 1 al 82 de manera ascendente, es decir, 1234567891011…808182. Encontrar la suma de los dígitos de este entero. R: 667

Problema

divisibilidad y division de polinomios

Enviado por jmd el 29 de Junio de 2008 - 17:07.

Encontrar todos los enteros positivos $ n $ distintos de la unidad para los cuales la expresión $(n^3-1)/(n^2+7n-8)$ es un entero.

Problema

El mulo y la burra generalizado (Problema 4, regiones 2008)

Enviado por jmd el 9 de Junio de 2008 - 19:08.

Abel le dice a Bárbara: si me dieras n yo tendría dos veces lo que a ti te quede. Bárbara le contesta: si tú me dieras 2 yo tendría n veces lo que a ti te quede. Encontrar todos los valores enteros positivos posibles de n.

Problema

ONMAS 2008 Nivel 1, Problema4

Enviado por jesus el 9 de Junio de 2008 - 18:30.

Francisco olvidó la clave de su tarjeta de banco y quiere realizar un retiro. Apenas recuerda que su clave contiene 4 dígitos y cumplen lo siguiente

  • ninguno de los dígitos es 0 ni es mayor que 5
  • no hay dígitos repetidos
  • no hay dos dígitos adyacentes que sean números consecutivos
  • la clave es un múltiplo de 4

Por ejemplo, el código 5413 no cumple porque el 4 y el 5 son cifras consecutivas, y el código 1135 no cumple porque se repite el 1. Francisco, que tiene muy mala suerte, probó todos los casos posibles y funcionó hasta que probó la última posibilidad. ¿Cuántos casos probó Francisco?

Problema

ONMAS 2008 Nivel 1, Problema 3

Enviado por jesus el 9 de Junio de 2008 - 17:59.

Juan tiene que llevar una ficha desde la esquina A hasta la esquina B, moviéndola por las líneas de la cuadrícula del tablero. La ficha puede moverse hacia arriba, hacia abajo, hacia la derecha o hacia la izquierda (la ficha puede pasar varias veces por el mismo punto). Cada vez que la ficha se mueve en sentido horizontal, Juan anota el número de la columna por la que atraviesa. Cuando la ficha finalmente llega a la esquina B, Juan multiplica todos los números que anotó. Encuentra todos los caminos donde el producto de los números anotados por Juan es 8640. Justifica tu respuesta.