Problemas - Teoría de números

Problema

Razonado elemental de números

Enviado por jmd el 20 de Junio de 2015 - 12:31.
Un número de dos cifras es tal que al restarle el producto de sus cifras el resultado es 17. Encontrarlo. 
 
Problema

Problema 7

Enviado por Roberto Alain R... el 8 de Junio de 2015 - 23:52.

Encuentra los valores de $a$ y $b$ enteros positivos en los que se cumpla que $a/5 + b/7 = 31/35$

Problema

Problema 6

Enviado por Roberto Alain R... el 8 de Junio de 2015 - 23:47.

180 multiplicado por un entero positivo $N$ resulta en un cubo perfecto (un número elevado al cubo). ¿Cuál es el mínimo valor posible de $N$ ?

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Problema 5

Enviado por Roberto Alain R... el 8 de Junio de 2015 - 23:24.

Ana tiene un número secreto de 6 dígitos con las siguientes características:

  • Clave 1: Es el mismo número al leerlo si se lee de derecha a izquierda.
  • Clave 2: Es múltiplo de 9.
  • Clave 3: Si se eliminan los dígitos extremos (el primero y el último) el número que resulta es múltiplo de 11 y solamente del 11.

¿Cuál es el número secreto de Ana?

Problema

Máximo común divisor menor a n

Enviado por German Puga el 18 de Abril de 2015 - 19:48.

Sean m enteros mayores a 1, y sean $a_1,a_2,\dots,a_m$ enteros positivos menores o iguales a $n^m$. Demuestra que existen enteros positivos $b_1,b_2,\dots,b_m$ menores o iguales a n, tales que $$ mcd( a_1+b_1,a_2+b_2,\dots,a_m+b_m) < n,$$ donde $mcd(x_1,x_2,\dots,x_m)$ denota el máximo común divisor de $x_1,x_2,\dots,x_m$.

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XXVIII OMM Problema 6

Enviado por vmp el 11 de Noviembre de 2014 - 11:07.

Para cada entero positivo $n$, sea $d(n)$ la cantidad de divisores positivos de $n$. Por ejemplo, los divisores positivos de 6 son 1, 2, 3 y 6, por lo que $d(6)=4$.
Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que
$$n+d(n)=d(n)^2$$.
 

Problema

Reducción de números

Enviado por vmp el 10 de Noviembre de 2014 - 17:09.

Un entero positivo $a$ se reduce a un entero positivo $b$, si al dividir $a$ entre su dígito de las unidades se obtiene $b$. Por ejemplo, 2015 se reduce a $\frac{2015}{5}=403$. Encuentra todos los enteros positivos que, mediante algunas reducciones, llegan al número 1. Por ejemplo, el número 12 es uno de tales enteros pues 12 se reduce a 6 y 6 se reduce a 1.

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Todos los primos tales que...

Enviado por jmd el 3 de Septiembre de 2014 - 12:49.

Encontrar todos los números primos $p,q$ tales que $p$ divide a $q+6$ y $q$ divide a $p+7$.

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P1. IMO 2014 - Sucesión Inifinita

Enviado por jesus el 9 de Julio de 2014 - 10:08.

Sea $a_0<a_1< a_2 < \cdots $ una sucesión infinita de números enteros positivos. Demostrar que existe un único entero $n \geq 1$ tal que $$a_n < \frac{a_0+a_1 + \cdots + a_n}{n} \leq a_{n+1}$$

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Números divertidos

Enviado por jmd el 16 de Junio de 2014 - 16:37.

Un entero positivo n es divertido si para todo divisor positivo d de n, d+2 es un número primo. Encuentre todos los npumeros divertidos que tengan la mayor cantidad posible de divisores.