Problemas - Teoría de números

Problema

Números a-tres-vidos

Enviado por jmd el 10 de Enero de 2012 - 08:37.

Un número natural $n$ es atresvido si el conjunto de sus divisores, incluyendo al 1 y al n, se puede dividir en tres subconjuntos tales que la suma de los elementos de cada subconjunto es la misma en los tres. ¿Cuál es la menor cantidad de divisores que puede tener un número atresvido?

Problema

Encontrar parejas --con dos restricciones

Enviado por jmd el 9 de Enero de 2012 - 22:05.

Determine todas las parejas $(a, b)$ de enteros positivos tales que $2a + 1$ y $2b - 1$ sean primos relativos y $a + b$ divida a $4ab + 1$.

Problema

Operación residual sobre dos enteros positivos

Enviado por jmd el 9 de Enero de 2012 - 21:36.

Dados dos enteros positivos $a$ y $b$, se denota por $(a\nabla b)$ al residuo que se obtiene al dividir $a$ entre $b$. Este residuo es uno de los números $0, 1,\ldots, b - 1$. Encuentre todas las parejas de números $(a, p)$ tales que $p$ es primo y se cumple que $$(a\nabla p) + (a\nabla 2p) + (a\nabla 3p) + (a\nabla 4p) = a + p.$$

Problema

Ecuación de inversos

Enviado por jmd el 9 de Enero de 2012 - 21:35.

Sea $p > 3$ un número primo. Si $$\frac{1}{1^p}+\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}+\ldots+\frac{1}{(p-1)^p}=\frac{n}{m}$$ donde el máximo común divisor de $n$ y $m$ es 1. Demuestre que $p^3$ divide a $n$.

Problema

Cuadrados perfectos formados con dos números

Enviado por jmd el 6 de Enero de 2012 - 20:18.

Determinar todas las parejas $(a,b)$, donde $a$ y $b$ son enteros positivos de dos dígitos cada uno, tales que $100a + b$ y $201a + b$ son cuadrados perfectos de cuatro dígitos.

Problema

Igualdad de múltiplos comunes mínimos

Enviado por jmd el 6 de Enero de 2012 - 20:17.

Sean $n$ y $k$ enteros positivos tales que o bien $n$ es impar o bien $n$ y $k$ son pares. Probar que existen enteros $a$ y $b$ tales que  $$mcd (a, n) = mcd (b, n) = 1, k = a + b.$$

Problema

Borrado selectivo y sucesivo de números en una lista

Enviado por jmd el 6 de Enero de 2012 - 18:21.

Los números enteros del 1 al 2002, se escriben en una pizarra en orden creciente 1, 2, . . . , 2001, 2002. Luego, se borran los que ocupan el primer lugar, cuarto lugar, séptimo lugar, etc., es decir, los que ocupan los lugares de la forma $3k + 1$. En la nueva lista se borran los números que están en los lugares de la forma $3k +1$. Se repite este proceso hasta que se borran todos los números de la lista. ¿Cuál fue el último número que se borró?

Problema

Números charrúas

Enviado por jmd el 5 de Enero de 2012 - 15:45.

Decimos que un número natural $n$ es "charrúa" si satisface simultáneamente las siguientes condiciones:

  • Todos los dígitos de $n$ son mayores que 1.
  • Siempre que se multiplican cuatro dígitos de $n$, se obtiene un divisor de $n$.

Demostrar que para cada número natural $k$ existe un número charrúa con más de $k$ dígitos.

Problema

Factor primo de un número con dígitos 1,3,7,9

Enviado por jmd el 5 de Enero de 2012 - 15:07.

 Sea $B$ un entero mayor que 10 tal que cada uno de sus dígitos pertenece al conjunto $\{1, 3, 7, 9\}$. Demuestre que $B$ tiene un factor primo mayor o igual que 11.

 

Problema

El cubo de la suma de los dígitos

Enviado por jmd el 5 de Enero de 2012 - 14:59.

Halle todos los enteros positivos menores que 1000 y tales que el cubo de la suma de sus dígitos es igual al cuadrado de dicho entero.