Cambio de dígitos

Enviado por Fernando Mtz. G. el 26 de Julio de 2009 - 23:18.
Versión para impresiónEnviar a un amigo Share this

Sean $ a $ y $ b $ enteros positivos de 8 dígitos cada uno, tales que al quitar cualquier dígito de $ a $ (pero solo uno) y colocar el correspondiente en posición con $ b $, se cumple que el número formado es divisible entre 7 (en cualquiera de los 8 posibles cambios). Demuestra que $ b $ es divisible entre 7.
   

Su voto: Nada Promedio: 5 (1 vote)
 

Comentarios

Imagen de Zzq

#1 No comprendí muy bien la

Enviado por Zzq el 27 de Julio de 2009 - 00:10.

No comprendí muy bien la redacción del problema, ¿me la podrías explicar por favor? Se ve interesante, y tengo un resultado, pero no se si comprendí bien el problema. Saludoz.

|zzq|

Imagen de Fernando Mtz. G.

#2 Ejemplo con un caso

Enviado por Fernando Mtz. G. el 27 de Julio de 2009 - 18:46.

Ejemplo con un caso especìfico:
si a= 70707070 y b=77770000, los 8 posibles cambios son:
70707070, 70707000, 70707070, 70700070, 70777070, 70707070, 77707070, 70707070.
los 8 nùmeros formados son divisibles entre 7, y como se podrà observar b es divisible entre 7.

Imagen de Zzq

#3 En el ejemplo, ¿tomas a como

Enviado por Zzq el 28 de Julio de 2009 - 01:20.

En el ejemplo, ¿tomas a $ a $ como la base de los nuevos números? Es decir, ¿7 debe de dividir a los 'nuevos' $ a $'s formados intercambiando los dígitos? Saludoz y disculpa tanta pregunta xD, jaja, es que creo que ya lo tengo pero quiero estar totalmente seguro de que comprendí el problema xD.

|zzq|

Imagen de Zzq

#4 Bueno, suponiendo que entendí

Enviado por Zzq el 28 de Julio de 2009 - 19:33.

Bueno, suponiendo que entendí el problema, la solución sería la siguiente:

 

Ponemos:

 

$ a = a_7 a_6 a_5 a_4 a_3 a_2 a_1 a_0 $

 

 

$ b = b_7 b_6 b_5 b_4 b_3 b_2 b_1 b_0 $

 

donde los $ a_i $ y $ b_i $ (con $ 0 \leq i \leq 7 $) son dígitos. Los 8 números que se pueden formar son:

 

$ b_7 a_6 a_5 a_4 a_3 a_2 a_1 a_0 $

 

$ a_7 b_6 a_5 a_4 a_3 a_2 a_1 a_0 $

 

$ a_7 a_6 b_5 a_4 a_3 a_2 a_1 a_0 $

 

$ a_7 a_6 a_5 b_4 a_3 a_2 a_1 a_0 $

 

$ a_7 a_6 a_5 a_4 b_3 a_2 a_1 a_0 $

 

$ a_7 a_6 a_5 a_4 a_3 b_2 a_1 a_0 $

 

$ a_7 a_6 a_5 a_4 a_3 a_2 b_1 a_0 $

 

$ a_7 a_6 a_5 a_4 a_3 a_2 a_1 b_0 $

 

Si llamamos a $ S $ a la suma de los 8 números, obtenemos lo siguiente:

 

$ S = b_7 a_6 a_5 a_4 a_3 a_2 a_1 a_0 + \ldots + a_7 a_6 a_5 a_4 a_3 a_2 a_1 b_0 $

 

 

$ S = b_7 0000000 + b_6 000000 + \ldots + b_0 + a_6 a_5 a_4 a_3 a_2 a_1 a_0 + a_7 0 a_5 a_4 a_3 a_2 a_1 a_0 + \ldots + a_7 a_6 a_5 a_4 a_3 a_2 a_1 0 $

 

 

$ S = b_7 b_6 b_5 b_4 b_3 b_2 b_1 b_0 + 7( a_7 a_6 a_5 a_4 a_3 a_2 a_1 a_0 ) $

 

Sabemos por el enunciado del problema que los 8 números son divisibles por 7, entonces la suma de todos ellos es también divisible por 7, es decir:

 

$ 7 | S $

 

que es lo mismo que

 

$ 7 | b_7 b_6 b_5 b_4 b_3 b_2 b_1 b_0 + 7( a_7 a_6 a_5 a_4 a_3 a_2 a_1 a_0 ) $

 

y como 7 divide a $ 7( a_7 a_6 a_5 a_4 a_3 a_2 a_1 a_0 ) $, entonces también divide a $ b_7 b_6 b_5 b_4 b_3 b_2 b_1 b_0 $, es decir:

 

$ 7 | b $.

 

|zzq|

Imagen de Fernando Mtz. G.

#5 buena soluciòn

Enviado por Fernando Mtz. G. el 30 de Julio de 2009 - 00:08.

buena soluciòn