Cambio de dígitos

Enviado por Fernando Mtz. G. el 26 de Julio de 2009 - 23:18.

Sean $a$ y $b$ enteros positivos de 8 dígitos cada uno, tales que al quitar cualquier dígito de $a$ (pero solo uno) y colocar el correspondiente en posición con $b$, se cumple que el número formado es divisible entre 7 (en cualquiera de los 8 posibles cambios). Demuestra que $b$ es divisible entre 7.

Solución

Por:

j_ariel

Solución:

Bueno, suponiendo que entendí el problema, la solución sería la siguiente:

Ponemos

$$a = a_7 a_6 a_5 a_4 a_3 a_2 a_1 a_0$$
$$b = b_7 b_6 b_5 b_4 b_3 b_2 b_1 b_0$$

donde los $a_i$ y $b_i$ (con $0 \leq i \leq 7$) son dígitos. Los 8 números que se pueden formar son:

$b_7 a_6 a_5 a_4 a_3 a_2 a_1 a_0$
$a_7 b_6 a_5 a_4 a_3 a_2 a_1 a_0$
$a_7 a_6 b_5 a_4 a_3 a_2 a_1 a_0$
$a_7 a_6 a_5 b_4 a_3 a_2 a_1 a_0$
$a_7 a_6 a_5 a_4 b_3 a_2 a_1 a_0$
$a_7 a_6 a_5 a_4 a_3 b_2 a_1 a_0$
$a_7 a_6 a_5 a_4 a_3 a_2 b_1 a_0$
$a_7 a_6 a_5 a_4 a_3 a_2 a_1 b_0$

Si llamamos a $S$ a la suma de los 8 números, obtenemos lo siguiente:

$S = b_7 a_6 a_5 a_4 a_3 a_2 a_1 a_0 + \ldots + a_7 a_6 a_5 a_4 a_3 a_2 a_1 b_0$ $S = b_7 0000000 + b_6 000000 + \ldots + b_0 + a_6 a_5 a_4 a_3 a_2 a_1 a_0 + a_7 0 a_5 a_4 a_3 a_2 a_1 a_0 + \ldots + a_7 a_6 a_5 a_4 a_3 a_2 a_1 0$
$S = b_7 b_6 b_5 b_4 b_3 b_2 b_1 b_0 + 7( a_7 a_6 a_5 a_4 a_3 a_2 a_1 a_0 )$

Sabemos por el enunciado del problema que los 8 números son divisibles por 7, entonces la suma de todos ellos es también divisible por 7, es decir:

$7 | S $

que es lo mismo que

$7 | b_7 b_6 b_5 b_4 b_3 b_2 b_1 b_0 + 7( a_7 a_6 a_5 a_4 a_3 a_2 a_1 a_0 ) $

y como 7 divide a $ 7( a_7 a_6 a_5 a_4 a_3 a_2 a_1 a_0 ) $, entonces también divide a $ b_7 b_6 b_5 b_4 b_3 b_2 b_1 b_0 $, es decir:

$7 | b$.

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No comprendí muy bien la

Enviado por j_ariel el 27 de Julio de 2009 - 00:10.

No comprendí muy bien la redacción del problema, ¿me la podrías explicar por favor? Se ve interesante, y tengo un resultado, pero no se si comprendí bien el problema. Saludoz.

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Ejemplo con un caso

Enviado por Fernando Mtz. G. el 27 de Julio de 2009 - 18:46.

Ejemplo con un caso especìfico:
si a= 70707070 y b=77770000, los 8 posibles cambios son:
70707070, 70707000, 70707070, 70700070, 70777070, 70707070, 77707070, 70707070.
los 8 nùmeros formados son divisibles entre 7, y como se podrà observar b es divisible entre 7.

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En el ejemplo, ¿tomas a como

Enviado por j_ariel el 28 de Julio de 2009 - 01:20.

En el ejemplo, ¿tomas a $a$ como la base de los nuevos números? Es decir, ¿7 debe de dividir a los 'nuevos' $a$'s formados intercambiando los dígitos? Saludoz y disculpa tanta pregunta xD, jaja, es que creo que ya lo tengo pero quiero estar totalmente seguro de que comprendí el problema xD.

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Bueno, suponiendo que entendí

Enviado por j_ariel el 28 de Julio de 2009 - 19:33.

Bueno, suponiendo que entendí el problema, la solución sería la siguiente:

Ponemos:

$a = a_7 a_6 a_5 a_4 a_3 a_2 a_1 a_0$

$b = b_7 b_6 b_5 b_4 b_3 b_2 b_1 b_0$

donde los $a_i$ y $b_i$ (con $0 \leq i \leq 7$) son dígitos. Los 8 números que se pueden formar son:

$b_7 a_6 a_5 a_4 a_3 a_2 a_1 a_0$

$a_7 b_6 a_5 a_4 a_3 a_2 a_1 a_0$

$a_7 a_6 b_5 a_4 a_3 a_2 a_1 a_0$

$a_7 a_6 a_5 b_4 a_3 a_2 a_1 a_0$

$a_7 a_6 a_5 a_4 b_3 a_2 a_1 a_0$

$a_7 a_6 a_5 a_4 a_3 b_2 a_1 a_0$

$a_7 a_6 a_5 a_4 a_3 a_2 b_1 a_0$

$a_7 a_6 a_5 a_4 a_3 a_2 a_1 b_0$

Si llamamos a $S$ a la suma de los 8 números, obtenemos lo siguiente:

$S = b_7 a_6 a_5 a_4 a_3 a_2 a_1 a_0 + \ldots + a_7 a_6 a_5 a_4 a_3 a_2 a_1 b_0$

$S = b_7 0000000 + b_6 000000 + \ldots + b_0 + a_6 a_5 a_4 a_3 a_2 a_1 a_0 + a_7 0 a_5 a_4 a_3 a_2 a_1 a_0 + \ldots + a_7 a_6 a_5 a_4 a_3 a_2 a_1 0$

$S = b_7 b_6 b_5 b_4 b_3 b_2 b_1 b_0 + 7( a_7 a_6 a_5 a_4 a_3 a_2 a_1 a_0 )$