Elemental pero difícil

Los números se expresan como , donde son dígitos distintos de cero (de otra manera el producto de sus cifras es cero). Pero el producto de sus cifras es y es un factor de . Es decir, divide a . Por tanto, divide a (puesto que no podría dividir a un primo) y divide a (por ser 101 primo).

De "a divide a 10a+b" se concluye que a divide a b. Y de  "b divide a 10a+b" se concluye que b divide a 10a. (a divide a b porque a divide a 10a+b y b divide a 10a porque b divide a 10a+b). De aquí que es múltiplo de y es múltiplo de (en símbolos: a|b|10a).

Simbólicamente, esto se expresa como   Sustituyendo la primera en la segunda se obtiene: , o . Y surgen los siguientes casos: . (Se descarta por razones obvias.) En resumen, se tienen tres casos: 

Caso 1: Si entonces y el producto de sus cifras es , el cual es un factor de . De aquí que , y la única posibilidad des que a=1. (Con la solución 1111.)
Caso 2: Si b=2a entonces n=101(12a) y el producto de sus cifras es , el cual es un factor de   De aquí que divide a , es decir, divide a 6. Entonces es 1,2,3, o 6, y los valores correspondientes de son 2,4,6 (el 12 no es dígito). Las soluciones correspondientes son: 1212,2424,3636.
Caso3: Si b=5a entonces n=101(15a) y el producto de sus cifras es . Se sigue que divide a 3. Así, o (y ). La única solución en este caso es 1515.

En resumen, los números buscados son 111, 1212,2424,3636,1515.