Números chidos

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Un número de tres cifras $abc$ es chido si:

  • Todas sus cifras son distintas y mayores a uno.
  • Las fracciones $ \frac{bc}{a}, \frac{ac}{b} $ y $ \frac{ba}{c}$ son enteros.

a) ¿Cuál es el número chido más grande? 

b) ¿Qué números chidos tienen la misma cifra en las centenas que el número encontrado en el inciso anterior?




Imagen de Jonathan Galvan Bdz_2

Como buscamos encontrar el

Como buscamos encontrar el número chido más grande entonces podemos empezar por analizar el caso donde a=9:

Si a es 9 entonces para que se cumpla la primera condición, $\frac{bc}{a}$ se necesita entonces que $9|bc$ el 999  y el 990 quedan descartados pues tienen cifras repetidas entonces $b+c=9$ por el criterio de divisibilidad del 9 por lo tanto alguno de los dos es par si b es par entonces no es posible que $\frac{ac}{b}$ sea entero, pues ac tiene ambos dígitos impares y por lo tanto es impar por lo que no lo puede dividir un número par, por el otro lado, si c es par entonces lo que no puede pasar es que  $\frac{ba}{c}$ sea entero, por el mismo razonamiento que en el caso anterior. Entonces vemos que no es posible que a=9.

Procedamos ahora a ver el caso en que a=8:

Si a es 8 entonces nuevamente se necesita que $8|bc$, por lo tanto c necesariamente es par, puede tomar valores 2, 4 ó 6.

Si c=2 entonces b debe ser 7 ó 3 para que  $8|bc$ sea cierto, luego si b=7 vemos que no es cierto que  $\frac{82}{7}$ sea entero por lo tanto si c=2 entonces b=7 nos da un número que no es chido. Si b=3 vemos que de nuevo no es cierto que  $\frac{82}{3}$ sea entero por lo tanto c=2 tampoco nos da un número chido.

Si c=4 entonces b debe ser 6 ó 2 para que $8|bc$ sea cierto, luego si b=6 vemos que se cumplen todas los requisitos pues  $\frac{64}{8} = 8$,  $\frac{84}{6 }= 14$ y  $\frac{68}{4} = 17$ entonces 864 es un número chido. Si  b=2 vemos que también se cumplen los requisitos pues  $\frac{24}{8} = 3$,  $\frac{84}{2}=42$ y  $\frac{28}{4} =7$ por lo tanto 824 es otro número chido.

Si c=6 entonces b debe ser 9 o 3 para que  $8|bc$  sea cierto, luego si b=9 entonces no es cierto que  $\frac{86}{9}$ sea entero por lo que con b=9 no obtenemos un número chido. Si b=3 entonces de nuevo no es cierto que $\frac{86}{3}$ sea entero por lo tanto con b=3 tampoco se obtiene un número chido.

Con el análisis anterior podemos ver que el número chido más grande es 864, y que además de él, sólo existe un otro número chido con a=8, a saber 824. Con lo que tenemos las respuestas a ambas preguntas y como dice mi amigo Germán, "acabamos".

                                             

Imagen de Reyes Luis

exacto yo sin embargo cometi

exacto yo sin embargo cometi un descuido pues inclui en mi respuesta 848 pero lo demas lo tenia correcto