OMM 2004 Problema 1

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Encuentra todos los números primos $p,q, r$ con $p$<$ q$ <$r$ , que cumplan
con $25pq+ r= 2004$ y que $pqr+ 1 $ sea un cuadrado perfecto




Imagen de iwakura_isa

 Tengo una solución

 Tengo una solución diferente.

Tenemos que $$25pq+r=2004$$ y que $$pqr+1=x^2$$

Entonces podemos poner $pqr$ como $$pqr=(x+1)(x-1)$$

Como $p,q,r$ son primos, tenemos que uno de $(x+1)$ o $(x-1)$ esta formado por algunos de los factores $p,q,r$ y el otro por los que falten.

Si alguno tiene a los tres factores tenemos que como $pqr>1$ entonces $pqr=x+1$ y $x-1=1$. Por lo tanto $pqr=3$ y no se puede.

Entonces alguno tiene exactamente dos de los factores primos. Si uno tiene $pr$ y el otro $q$, como $pr>q$ tenemos que $pr=x+1$ y $q=x-1$ por lo tanto $pr=q+2$ pero $r \geq q+2$ entonces $$pr \geq pq+2p > q+2$$ Por lo que no se puede este caso. Mismo argumento si uno tiene a $qr$ y el otro a $p$.

Por lo tanto tenemos dos casos

Caso $pq=x+1,r=x-1$, entonces  $pq=r+2$ lo sustituimos en la otra ecuación y tenemos que. 

$$25(r+2)+r=2004 \rightarrow 26r=1954$$ Pero $1954/26$ no es entero

Caso $pq=x-1,r=x+1$, entonces $pq=r-2$

$$25(r-2)+r=2004 \rightarrow 26r=2054$$ Entonces tenemos que $r=79$ que es primo, luego $pq=79-2=77=7*11$ por lo que $p=7,q=11$ es la única posibilidad. Entonces la única terna $(p,q,r)$ que cumple es $(7,11,79)$.

Imagen de jesus

Muy buena solución

Muy buena solución iwakura_isa.Tu solución, a diferencia de la de Orlando, se enfocó primero en estudiar la condición $pqr+1=x^2$; Orlando estudió primero la condición $25pq+r=2004$.

En mi opinión personal, me parece que tu forma de resolver resultó más corta. Pero me gusta ver que es posible llegar a la solución sin importar a cuál de las identidades decidas dedicar el mayor esfuerzo.