P divide a una sumota

Enviado por arbiter-117 el 18 de Agosto de 2009 - 19:33.
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Sea $ p $ un número primo. Encontrar la condición que debe cumplir n para que $ 1+n+n^2+....+n^{p-2} $ es múltiplo de $ p $.

 

 

 

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Comentarios

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#1 si ponemos tu suma como

Enviado por Luis Brandon el 18 de Agosto de 2009 - 19:43.

si ponemos tu suma como $ \frac{n^{p-1}-1}{n-1}=0 (mod p) $ (recordar suma de progracion geometrica..) vasta con que $ (n,p)=1 $(es decir que sean primos relativos...) ...por el pequeño teorema de Fermat es claro que se cumplira lo pedido...solucion mas corta no te puedo dar Bernardo ahahah saludos

La Geometria es el arte de pensar bien y dibujar mal...hahaha resolviendo con figuras falsas ahha brandoowin@hotmail.com
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#2 Es verdad que si , pero creo

Enviado por Fernando Mtz. G. el 18 de Agosto de 2009 - 21:48.

Es verdad que si $ mcd(n,p)=1, $ $ n^{p-1} -1 \equiv 0\pmod {p} $, pero creo que hay que decir algo de $ n-1 $, ya que $ mcd(4,3)=1 $ pero $ (4^2-1)/3= 5) $ y 3 no divide a 5, de igual manera $ mcd(11,5)=1 $ y $ (11^4-1)/10= 1464 $ y 5 no divide a 1464.

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#3 Pues si, lo anterior solo

Enviado por Luis Brandon el 18 de Agosto de 2009 - 22:36.
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Pues si, lo anterior solo funciona cuando p es mayor o igual a 7. Wo punto para fernando que si lo noto. Si te encuentras un problema interesante postealo Fernando saludos!!!!!!!!

La Geometria es el arte de pensar bien y dibujar mal...hahaha resolviendo con figuras falsas ahha brandoowin@hotmail.com
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#4 Muy buena interacción (las

Enviado por jmd el 19 de Agosto de 2009 - 06:36.

Muy buena interacción (las gracias le sean dadas a Fernando por tomarse la molestia de observar el bug --ciertamente hay que decir algo de n-1).

A ver que les parece el siguiente argumento (espero sea útil, sobre todo para los novicios):

Como se sabe (suma de una sucesión geométrica de razón n), $ 1+n+n^2+\ldots+n^{p-2}=(n^{p-1}-1)/(n-1) $. Y esto equivale a decir, después de quitar denominadores,

$$(n-1)(1+n+n^2+\ldots+n^{p-2})=n^{p-1}-1$$


Y, aquí, el lado derecho trae a presencia el PTF (a la mente de quien lo conoce y lo ha usado en problemas como éste). ¿Y qué dice Fermat?  Dice que si n es primo con p (condición que es muy fácil de olvidar) y p es primo, entonces $ n^{p-1}-1 $ es múltiplo de p. De aquí se sigue que si se cumplen tales condiciones entonces el lado izquierdo es múltiplo de p. Esto significa que p divide a uno de los factores del lado izquierdo (o a los dos).

Ahora bien, si p dividiera a n-1 entonces $ 1+n+n^2+\ldots+n^{p-2} $ deja el mismo residuo que p-1 al dividir entre p. (Reto a novicios: demostrarlo.) Es decir, la "sumota"  no es múltiplo de p.

En caso contrario, si p es primo con n-1, entonces (por el lema de Euclides) la "sumota" tiene que ser múltiplo de p.

Notemos que, antes de aplicar Fermat,  podemos decir: si p no es primo con n (lo cual equivale a decir que n es múltiplo de p), entonces la "sumota" deja 1 como residuo al dividir entre n (se invita a los novicios a justificar esta afirmación); es decir, si p dividiera a n la "sumota" no sería múltiplo de p. Y ahora sí aplicamos Fermat.

Ahora es tiempo de recolectar: para que p divida a la "sumota", tanto n como n-1 deben ser primos con p.

Los saluda

jmd

PD:

Es muy fácil imitar la forma de un argumento y dejar el contenido en un segundo plano. El novicio debería esforzarse en convencerse de la validez de afirmaciones como las que propongo como ejercicios en este comentario. Y esta actitud vigilante es particularmente recomendable cuando estudian el tema en un libro de texto.

Porque un libro de texto siempre espera de sus lectores su participación activa. En un libro de texto o unos apuntes de Teoría de números la solución de problema que propone arbiter se puede redactar en dos renglones (como lo hizo Brandon, solamente que olvidó el n-1 --como acertadamente puntualizó Fernando).

Y la brevedad de la demostración puede inducir al novicio a concluir que es muy fácil de realizar. Pero detrás de cada afirmación --en esos dos renglones de texto--, está un teorema o un hecho básico que ni siquiera se mencionó. Y si el novicio no investiga más allá de lo que se dice para saber por qué se dice, entonces empieza a imitar la forma y se olvida del contenido.

El resultado es que ese aprendiz inicia el camino para convertirse en un poser de las matemáticas de concurso. Es decir, un farsante que aparenta saber lo que realmente no sabe... (Y bueno, todos conocemos a un poser, y sabemos que llegan a ser muy populares dentro de un cierto círculo social, pero causan risa o enojo en otros...)

Para prevenir ese efecto no deseado en el aprendizaje es muy saludable que ocurran interacciones como la suscitada por este problema propuesto por arbiter. (Por mi parte, ofrezco una disculpa por intervenir y quizá interrumpir la discusión que podría haber seguido. Pero había la posibilidad de que ahí quedara y les fuera indiferente a los novicios... es por esa razón que decidí comentar...

PD2: Creo que la posdata se alargó demasiado. Espero que a pesar de ello pudiera  ser de utilidad para evitar que algún novicio emprendiera el camino equivocado y se convirtiera con el tiempo en un farsante de las matemáticas de concurso...

 

José Muñoz Delgado