Sobre primos y cuadrados perfectos

Este problema se ve muy feo, no hay forma de factorizar nada. La única es pqr = (m – 1)(m + 1) para algún m. Y lo único que se ve es que m es par (si fuese impar, pqr sería múltiplo de 4). Probemos pues una criba acotando según el 2004:

pq = (2004 – r)/25 = 80 – (r -4)/25, lo cual nos pone una cota en los posibles valores de pq. Porque el valor mínimo de r sería 29. Por lo tanto, pq < 79 y sería cuestión de ver los números menores que 79 factorizables en dos primos –y después checar las otras condiciones.

Otra cosa que vemos es que ninguno de los primos es 2 (25pq + r es par), así que p, q y r son todos primos impares. Así que basta revisar los impares menores que 79 y nuestro espacio de búsqueda se reduce. También se ve, de la ecuación, que 25pq no puede terminar en 0; luego, termina en 5 (pues es múltiplo de 5). Pero entonces r debe terminar en 9. Lo siguiente que debemos hacer para inferir pistas de los datos es factorizar 2004: 2004 = 4(3)167. Aunque esto parece que en nada ayuda. Aunque, si multiplicamos por r en la ecuación se obtiene:

$25pqr + r^2 = 2004r$

De aquí se ve que, si antes terminaba en 4, ahora debe terminar en 6 (4×9 = 36). Y, como r termina en 9, r^2 termina en 1. Así que 25pqr termina en 5 de nuevo.

Manipulando un poco más la ecuación se obtiene:

$25(pqr + 1) + r^2 – 25 = 2004r$

Se ve aquí que pqr + 1, al ser un cuadrado par, debe terminar en 4 o en 6 (las posibles terminaciones de un cuadrado perfecto son 1, 4, 5, 6, 9). Entonces, pqr termina en 3 o en 5. Pero r termina en 9, luego pq sólo puede terminar en 7 o en 5. Esto reduce aún más el espacio de soluciones: menores que 79, terminados en 5 o 7 y factorizables en dos primos. Son alrededor de 16 números. Veamos: