Problema 5, ONMAS 2007

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Sean $a, b$ dos enteros tales que $2007 a = 7002b$. Demostrar que $a+b$ no es primo.




Imagen de jmd

Este problema pareciera

Este problema pareciera avanzado, y de cierta forma lo es pues se planteó para el nivel 2 de la ONMAS 2007, pero es elemental si el concursante conoce el criterio de divisibilidad dado por el lema de Gauss: si $a$ divide a $bc$ y $a$ es primo con $b$, entonces $a$ divide a $c$. El adolescente interesado en concursos debería tomar este lema  como axioma (como dado o teorema conocido) y aplicarlo sin remordimiento (de que no sabe demostrarlo).

Imagen de Fernando Mtz. G.

Transformando ahora la

Transformando ahora la igualdad se obtiene. 223(a+b)=1001b=(11)(91) y 223 no es multiplo de 11 asi que a+b es multiplo de 11, y es facil ver que a+b no puede ser 11, por tanto a+b no es primo
Imagen de Paola Ramírez

Vemos que: $2007=223*9$ y

Vemos que:
$2007=223*9$ y que $7002=778*9$, la igualdad se simplifica a $223*a=778*b$

Tenemos que igualar factores de ambos lados de la igualdad
$223(778*k)=778(223*k)$, donde $a=778*k,b=223*k$ entonces
$a+b=(778*k)+(223*k)=k(778+223)=k(1001)$ pero $1001=7*11*13 \therefore a+b$ no es primo