Suma de dos fracciones que dan entero

Enviado por jesus el 23 de Mayo de 2009 - 15:31.

Consideremos dos fracciones reducidas $\frac{a}{b}$ y $\frac{c}{d}$ con $b, d>0$ . Si la suma de estas dos fracciones es un número entero entonces $b=d$ .

Sugerencia

Sugerencia:

Recuerda que una fracción $\frac{p}{q}$ es reducida si $p$ y $q$ son primos relativos.
Escribe:
$\frac{a}{b}+\frac{c}{d} = n$
y juega con esa expresión.
Usa el Lema de Euclides.

Comentarios

#1 bueno creo que es asi de qui

Enviado por arbiter-117 el 24 de Mayo de 2009 - 15:30.

bueno creo que es asi

$a/b + c/d = n = (ad)/bd + ((bc)/bd)$

de qui se sigue que

$(ad/bd)-n=-bc/bd$ multiplicando por $-1$ ambos lados

$(n-ad)/bd = (bc/bd) = (bdn-ad)/(bd)=(bc)/bd = (bn-a)/b=bc/bd$

multiplicando por $b$ ambos lados

$bn-a=(b^2c)/bd = (bc)/d$ como $d$ no divide a $c$ entonces $d|b$

llamamos a $b/d = k$

(nota: no se si se pueda decir que sea entero o si 2/4 = .5 y se puede decir que 4 divide a 2 si eso es la respueta esta quivocada).

analogamente se tiene

$n-(bc/bd)=(ad)/(bd)=(bdn-bc)/bd=(ad)/bd=(dn-c)/d=(ad)/bd$

multiplicando por $d$ ambos lados se obtiene

$dn-c=(ad^2)/bd=(ad)/b$ como $b$ no divide a $a$ entonces $b|d$ llamemos a $d/b = z$

de aqui se obtiene

$(d/b)(b/d)=1= (k)(z)$ como es una multiplicacion de 2 enteros = 1 $k$ y $z$ son iguales

y son $1$ o $-1$ entonces si es uno tomamos cualquier division que es 1

$d/b=1$ despejando $d=b$ lo que queriamos

mas o menos es con el $-1$

chuck norris es la unica persona que puede obtener 42 puntos................................ en una hoja en blanco y en los primeros 3 problemas

Inicia sesión o regístrate para enviar comentarios

#2 creo que es asi si no dime a

Enviado por arbiter-117 el 24 de Mayo de 2009 - 15:31.

creo que es asi si no dime a ver como se hace pa intentarlo otra vez

chuck norris es la unica persona que puede obtener 42 puntos................................ en una hoja en blanco y en los primeros 3 problemas

Inicia sesión o regístrate para enviar comentarios

#3 Veo que hiciste un buen

Enviado por jesus el 24 de Mayo de 2009 - 18:33.

Veo que hiciste un buen trabajo con este problema. Sólo que te falló la argumentación:

En la parte donde dices:

$bn-a=(b^2c)/bd = (bc)/d$ como $d$ no divide a $c$ entonces $d|b$

Y que vuelves a repetir más adelante:

$dn-c=(ad^2)/bd=(ad)/b$ como $b$ no divide a $a$ entonces $b|d$ llamemos a $d/b = z$

Hay un error pues, si se sabe que $n| mk$ y que $n$ no divide a $m$ , NO es cierto que $n$ deba dividir a $k$ . Por ejemplo:

$4 | 6 \times 10 = 60$ , pero $4$ no divide a $6$ ni a $10$ .

Lo que enrealidad necesitas aplicar es el lema de Euclides. El cuál, para este caso sí aplica, pues $c$ y $d$ son primos relativos, ya que $\frac{c}{d}$ es una fracción reducida.

Por otro lado, creo que debí mencionar que $b$ y $d$ son positivos. Lo obvié, pues comúnmente el signo de una fracción $\frac{a}{b}$ se le da al numerador, o sea, $b$ es positivo. Voy agregar este dato.