Suma de dos fracciones que dan entero

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Consideremos dos fracciones reducidas $\frac{a}{b}$ y $\frac{c}{d}$ con $ b, d>0$ . Si la suma de estas dos fracciones es un número entero entonces $b=d$.




Imagen de arbiter-117

bueno creo que es asi de qui

bueno creo que es asi

$a/b + c/d = n = (ad)/bd + ((bc)/bd)$

de qui se sigue que

$(ad/bd)-n=-bc/bd$ multiplicando por $-1$ ambos lados

$(n-ad)/bd = (bc/bd) = (bdn-ad)/(bd)=(bc)/bd = (bn-a)/b=bc/bd$

multiplicando por $b$ ambos lados

$bn-a=(b^2c)/bd = (bc)/d$ como $d$ no divide a $c$ entonces $d|b$

llamamos a $b/d = k$

(nota: no se si se pueda decir que sea entero o si 2/4 = .5 y se puede decir que 4 divide a 2 si eso es la respueta esta quivocada).

analogamente se tiene

$n-(bc/bd)=(ad)/(bd)=(bdn-bc)/bd=(ad)/bd=(dn-c)/d=(ad)/bd$

multiplicando por $d$ ambos lados se obtiene

$dn-c=(ad^2)/bd=(ad)/b$ como $b$ no divide a $a$ entonces $b|d$ llamemos a $d/b = z$

de aqui se obtiene

$(d/b)(b/d)=1= (k)(z)$ como es una multiplicacion de 2 enteros = 1 $k$ y $z$ son iguales

y son $1$ o $-1$ entonces si es uno tomamos cualquier division que es 1

$d/b=1$ despejando $d=b$ lo que queriamos

mas o menos es con el $-1$

Imagen de arbiter-117

creo que es asi si no dime a

creo que es asi si no dime a ver como se hace pa intentarlo otra vez

Imagen de jesus

Veo que hiciste un buen

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Veo que hiciste un buen trabajo con este problema. Sólo que te falló la argumentación:

En la parte donde dices:

$bn-a=(b^2c)/bd = (bc)/d$ como $d$ no divide a $c$ entonces $d|b$

Y que vuelves a repetir más adelante:

$dn-c=(ad^2)/bd=(ad)/b$ como $b$ no divide a $a$ entonces $b|d$ llamemos a $d/b = z$

Hay un error pues, si se sabe que $ n| mk$ y que $ n$ no divide a $ m$, NO es cierto que $ n$ deba dividir a $ k$. Por ejemplo:

$ 4 | 6 \times 10 = 60 $, pero  $4$ no divide a $6$ ni a $10$.

Lo que enrealidad necesitas aplicar es el lema de Euclides. El cuál, para este caso sí aplica, pues $ c$ y $ d$ son primos relativos, ya que $\frac{c}{d}$ es una fracción reducida.

Por otro lado, creo que debí mencionar que $b$ y $d$ son positivos. Lo obvié, pues comúnmente el signo de una fracción $\frac{a}{b}$ se le da al numerador, o sea, $ b$ es positivo. Voy agregar este dato.

Una cosa más. Hiciste una elaborado manipulación de la expresión:

$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d} = n$$

Para transformarla en:

$$\frac{bc}{d} = nb - a$$

Me parece que se pudo hacer en menos pasos.

Ahh! Se me olvidaba,  que $m | n$ significa que $\frac{n}{m}$ es entero, o bien, que existe un entero $k$ tal que $n=km$.

Saludos.

Imagen de arbiter-117

Aaaaaaaa y como le haces para

Aaaaaaaa y como le haces para hacerla en menos pasos????? y ty por la informacion

ty = thank you

Imagen de jesus

En menos pasos se puede hacer

En menos pasos se puede hacer así:

$$\frac{a}{b} + \frac{c}{d}=n$$

Multiplicamos la expresión por $ b$  y obtenemos

$$ bn = b \big( \frac{a}{b} + \frac{c}{d} \big) = a + \frac{bc}{d}$$

Luego, pasamos $ a$ restando al otro lado:

$$ bn - a = \frac{bc}{d}$$

Y ya está.

Imagen de arbiter-117

wooooow :o k malote eres

wooooow :o k malote eres guuueno ty

pasooo pachuca k bno tuvo el partido

Imagen de jmd

wooooow :o k  guuueno

wooooow :o k  guuueno ty

pasooo pachuca pero pumas es mejor equipo

Me pregunto cómo resolvería abiter este problema después de un año...