Un corolario del PTF

Enviado por jmd el 7 de Septiembre de 2009 - 08:51.

Si $p$ es un primo impar y $a$ es primo con $p$ , entonces $a^{\frac{p-1}{2}} \equiv \pm 1 \pmod{p}$ . (Por ejemplo, todo cuadrado perfecto primo con 5 termina en 1 o en 9 o en 4 o en 6.)

Comentarios

#1 1. Si es primo entonces

Enviado por coquitao el 7 de Septiembre de 2009 - 19:48.

1. Si $p$ es primo entonces $x^{2} \equiv 1 \mod p$ implica que $x \equiv 1 \mod p$ ó $x \equiv - \mod p$ .

2. Por otro lado, el pequeño teorema de Fermat asegura que $a^{p-1} \equiv 1 \mod p$ siempre que $a$ y $p$ son coprimos. Luego, al tenerse que

$\left(a^{\frac{p-1}{2}}\right)^{2} = a^{p-1} \equiv 1 \mod p$

la observación hecha en 1 implica que $a^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1 \mod p$ ó $a^{\frac{p-1}{2}} \equiv -1 \mod p$ .

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#2 Lo que supones al principio

Enviado por Luis Brandon el 7 de Septiembre de 2009 - 21:07.

Lo que supones al principio no es cierto, por ejemplo 7 es primo pero $3^2=+1mod7$ o $3^2=-1mod7$

se cumple alguna de las dos?

La Geometria es el arte de pensar bien y dibujar mal...hahaha resolviendo con figuras falsas ahha brandoowin@hotmail.com

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#3 Nadamas hay que sacar que

Enviado por Casanova el 7 de Septiembre de 2009 - 22:39.

Nadamas hay que sacar que [a^p-1]^1/2 = 1^1/2 mod P por el PTF... entonces de aqui ke

[a^p-1]^1/2 = + - 1 mod p

Perdon pero no se usar muy bien el latex hahaha

Team Bernardo & Casanova :D

Boom boom

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#4 hahahaha escribiendo con

Enviado por arbiter-117 el 7 de Septiembre de 2009 - 23:31.

hahahaha escribiendo con latex lo de casa es que

por el PTF que $a^{p-1}\equiv\ 1 \mod{p}$ y sacando raiz de los dos lados o elevarlo a la 1/2

y de ahi el resultado $a^{\frac{p-1}{2}} \equiv \pm 1 \pmod{p}$

team $RESIDENT EVIL$ osea yo y casanova

chuck norris es la unica persona que puede obtener 42 puntos................................ en una hoja en blanco y en los primeros 3 problemas

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#5 @Brandon: Creo que no se ha

Enviado por coquitao el 8 de Septiembre de 2009 - 10:56.

@Brandon:

Creo que no se ha entendido mi aseveración 1. La voy a poner de otra forma:

Sea $p$ un número primo. Supongamos que $x$ es un entero que satisface $x^{2} \equiv 1 \mod p$ Se afirma entonces que $x \equiv 1 \mod p$ ó $x \equiv -1 \mod p$ .

Para probarla sólo basta factorizar una diferencia de cuadrados y aplicar la regla de oro de la Aritmética.

Ahora debe resultar claro que la objeción que haces en realidad no procede, ¿qué no?

Otra observación: las otras propuestas de solución están empleando, de un modo u otro, lo que nos han requerido mostrar. Sabemos que las congruencias se preservan si elevamos ambos lados a exponentes positivos. En general, no tiene tanto sentido llegar y aplicar el análogo del procedimiento anterior a cualquier potencia real. En todo caso, la propuesta muestra que bajo ciertas condiciones adicionales sí resulta válido hacerlo.