Un reparto equitativo complicado

Enviado por jmd el 19 de Abril de 2009 - 14:08.
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Sea $ p $ un número primo. Un conjunto $ S $ de cardinalidad $ n $ se particiona de la siguiente manera: al primer subconjunto ($ P_1 $) se le asignan los primeros $ p $ elementos de $ S $ y los $ (n-p)/p $ siguientes (después de eliminar los primeros $ p $); si el conjunto remanente es $ S' $ y $ m $ es su cardinalidad, entonces a $ P_2 $ se le asignan los primeros $ 2p $ elementos de $ S' $ más los $ (m-p)/p $ siguientes, etc. (En general, a $ P_i $ se asignan $ ip $ elementos y la p-ésima parte de los elementos aún no repartidos.) El proceso termina cuando se asignan los últimos elementos de $ S $ al último subconjunto de la partición. Encontrar los posibles valores de $ n $ (en términos de $ p $) si todos los subconjuntos de la partición tienen la misma cardinalidad.

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Comentarios

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#1 Para p=5, y con un contexto

Enviado por jmd el 19 de Abril de 2009 - 14:13.

Para p=5, y con un contexto de reparto de avellanas, este problema se aplicó a los adolescentes participantes en el concurso de la ONMAS Tamaulipeca 2009. (El problema pertenece, de hecho, a un concurso español: ver http://mimosa.pntic.mec.es/jcolon/fpdoce19.html). Lo he generalizado aquí,  para convertirlo en un problema de números de nivel intermedio y sea así interesante para otras audiencias. Para éstas va el siguiente ejercicio: ¿p tiene que ser primo? (discutir).

PD: las gracias le sean dadas a Sadhi por la comunicación y le deseamos gran inspiración en el concurso nacional de la ONMAS... y también esperamos que quede en la preselección de la OMM tamaulipeca 2009 (por lo pronto ya está en la selección Reynosa).

José Muñoz Delgado

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#2 Me acaban de enviar el examen

Enviado por jmd el 22 de Abril de 2009 - 14:03.

Me acaban de enviar el examen de la ONMAS tamaulipeca 2009 y la verdad es que estuvo muy groovy. Para este problema (con p=5), la solución oficial que se da es  4 y 20, lo cual es inexacto (debe ser 1 y 5 o 4 y 20).

Chéquenlo:

Problema 5  (1º y 3º  de sec.)
Una señora distribuye entre sus hijos cierto número de avellanas. Al  primero le da 5 avellanas y 1/5 del resto; al segundo, 10 avellanas  más 1/5 del resto; al tercero, 15 avellanas más 1/5 del resto, y así  sucesivamente.  ¿Cuál era el número de hijos y cuántas avellanas tocaron a cada uno,  si todos recibieron el mismo número de avellanas?

Solucion 5

R= 4  y  20

Los saluda

José Muñoz Delgado