Una diofantina muy difícil

Usemos el cambio de variable La ecuación se transforma a . El máximo común divisor de a,b,c divide a --de otra manera no habría ninguna solución. Por tanto, podemos suponer MCD  De aquí que , con coprimos. La ecuación queda de nuevo transformada a .

Como los residuos cuadráticos respecto al módulo 4 son solamente 0,1, las posibilidades son 0,1,2,3 para el lado derecho. Pero como son coprimos, solamente uno de ellos puede ser par (con residuo 0, módulo 4). De aquí que las posibilidades para el lado derecho se reducen a 2 y 3. Finalmente, el lado derecho no puede dejar 3 de residuo en la división entre 4 --dado que es potencia de 2. De aquí que la única posibilidad es que deje 2 de residuo. Es decir, el exponente del lado derecho tiene que ser 1.

Esto nos lleva a concluir que De aquí que dos de los tres multiplicadores son 1 y el otro es 0 (). Pero Y, si recordamos que , entonces tiene que ser 0 --dado que no tiene solución en enteros. Se concluye que y