Una propiedad de dos primos

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Si $ p $ y $ q $ son primos, entonces $p^{q-1}+q^{p-1}-1$ es múltiplo de $pq$

Ver también: 
Pequeño teorema de Fermat
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Múltiplo (de un entero)



Imagen de coquitao

Por el pequeño teorema de

Por el pequeño teorema de Fermat tenemos que $p$ divide a $q^{p-1}-1$. Claramente, $p$ también divide a $p^{q-1}$. Luego, $p| p^{q-1}+(q^{p-1}-1)$.

Procediendo del mismo modo para $q$ tenemos que por PFT, $q| p^{q-1}-1$ y trivialmente $q|q^{p-1}$. Así, $q | (p^{q-1}-1)+q^{p-1}$.

Al ser $p$ y $q$ coprimos se sigue que $p \cdot q$ es divisor de todo múltiplo común de $p$ y $q$. Como $p^{q-1}+q^{p-1}-1$ es múltiplo común de ambos primos la prueba termina.

QED.

Imagen de moises

esa explicacion es

5

esa explicacion es imprecionante