XXVIII OMM Problema 6

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Para cada entero positivo $n$, sea $d(n)$ la cantidad de divisores positivos de $n$. Por ejemplo, los divisores positivos de 6 son 1, 2, 3 y 6, por lo que $d(6)=4$.
Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que
$$n+d(n)=d(n)^2$$.
 

Ver también: 
XXVIII OMM Problema 4
Ver también: 
XXVIII OMM Problema 5



Imagen de Edson Torres_2

si se deve encontrar todos

si se deve encontrar todos los enteros positivos n ales que n+d(n)=d(n)^2 

eso significa que es un numero sumado por la multiplicacion de ese mismo numero multiplicado por  otro es igual al cuadrado de el primer numero por el otro.

por tanto el unico numero que sumado por si mismo es igual a su cuadrado es el 2 (n+n). 

y como 2 es n quedaria que 2+d(2)=d(2)^2.

se pasa el (2) que esta multiplicando como dividiendo:2 2+d=d(2)^2/2.y se restan los exponentes, seria igual a 2+d=d(2)

y como son los divisores de 2 tambien es igual a 2 ya que sus divisores son el 1 y 2. por tanto 2+2=2(2) y seria igual a 4.

por  tanto el unico numero que cumple es el 2.

si estoy mal avisen porfavor ya que no soy muy bueno en numeros.

 

Imagen de jesus

Hola Edson, el problema tiene

Hola Edson, el problema tiene 4 soluciones distintas el 2, 56, 132 y 1260. Únicamente encontraste una, por lo que debe haber algún error en tus argumentos.

Yo veo varios errores, pero te comento cuál creo que es el problema principal con tus argumentos. Y creo que es con el significado de $d(n)$.

Me da la impresión que has entendido que $d(n)$ significa lo mismo que $d \times n$. Pero el significado correcto es de función, o sea, que tienes que entender $d$ como un mapeo que para cada número $n$ del conjunto de los enteros positivos $\{1, 2, 3, 4, \dots \}$ tiene asociado un valor al cuál se le denota con $d(n)$, y ese valor es precisamente la cantidad de divisores de $n$.

La siguiente tabla presenta el valor de $d(n)$ para $n=1, 2, 3, 6$ y $8$.

$n$ divisiores de $n$ $d(n)$
(Número de divisores de $n$)
1 1 d(1) = 1
2 1, 2 d(2) = 2
3 1,3 d(3) = 2
6 1,2,3,6 d(6) = 4
8 1,2,4,8 d(8) = 4

Para conocer más sobre esta función puedes leer sobre números de divisores aquí en MaTeTaM.

Te recomiendo empezar por verificar que efectivamente 2, 56, 132 y 1260 son solución. Tendrás que calcular $d(2), d(56), d(132)$ y $d(1260)$.

Como ya habías comentado, $n=2$ es solución, pero no por las razones que explicas. Si no por que $d(2) = 2$. Sustituyendo en la ecuación $n + d(n) = d(n)^2$ se observa que efectivamente se satisface $2 + 2 = 2^2$.

El caso de $n=6$ NO satisface ya que $d(6) = 4$ y sustituyendo llegamos a que $6 + 4 \not = 4^2$.

Imagen de Edson Torres_2

muchas gracias exactamente

muchas gracias exactamente asi pensava que d(n) era multiplicacion pero gracias por aclararlo. empezare a practicar mas eso.