Problemas

Estos son los problemas que llevamos hechos!

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Cuadrado perfecto de cuatro cifras Básico, Números

Sea $ m $ un cuadrado perfecto de cuatro cifras menores que 9. Sumando una unidad a cada una de las cifras de $ m $ se forma otro cuadrado perfecto. Encontrar $ m $.

 25/08/2010 - 17:33
La factorización prima es única Intermedio, Números

Encontrar todos los pares $ (x,y) $ de enteros que satisfacen la ecuación $ 2^x+1=y^2 $

 13/08/2010 - 17:36
Diez consecutivos son divisores --pero no 11 Intermedio, Números, XXI OMM 2007

Encuentra todos los enteros positivos $ N $ con la siguiente propiedad: entre todos los divisores positivos de $ N $, hay 10 números consecutivos, pero no 11.

 31/07/2010 - 07:09
La arista es el MCD de sus vértices Avanzado, Números, XXII OMM 2008

En los vértices de un cubo están escritos 8 enteros positivos distintos, uno
en cada vértice. Y en cada una de las aristas está escrito el máximo común
divisor de los números que están en los 2 vértices que la forman. Sean $ A $ la suma de los números escritos en las aristas y $ V $ la suma de los números escritos en los vértices.

  • (a) Muestra que $ \frac{2}{3}A\leq V $.
  • (b) ¿Es posible que $ A = V $?
 31/07/2010 - 06:50
Expresado como suma de potencias --de sus primeros dos divisores Intermedio, Números, XXII OMM 2008

Sean $ 1=d_1 < d_2 < d_3 \cdots < d_k = n $ los divisores del entero positivo $ n $. Encuentra todos los números $ n $ tales que $ n = d_2 ^ 2 + d_3^3 $.

 31/07/2010 - 06:12
Los parientes de un número son sus múltiplos Intermedio, Números, XX OMM 2006

Sea $ ab $ un número de dos dígitos. Un entero positivo $ n $ es “pariente” de $ ab $ si:

  • El dígito de las unidades de $ n $ también es $ b $.
  • Los otros dígitos de $ n $ son distintos de cero y suman $ a $.

Por ejemplo, los parientes de 31 son 31, 121, 211 y 1111. Encuentra todos los números de dos dígitos que dividen a todos sus parientes .

 29/07/2010 - 08:17
Infinidad de enteros en sucesión de fracciones Intermedio, Números, XIX OMM 2005

Determina todas las parejas $ (a,b) $ de enteros distintos de cero para las cuales es posible encontrar un entero positivo $ x $ primo relativo con $ b $ y un entero cualquiera $ y $, tales que en la siguiente lista hay una infinidad de números enteros:

$$\frac{a+xy}{b},\frac{a+xy^2}{b^2},\frac{a+xy^3}{b^3},\ldots,\frac{a+xy^n}{b^n},\ldots$$

 29/07/2010 - 08:00
Ternas compatibles Avanzado, Números, XVI OMM 2002

Tres enteros distintos forman una terna compatible si alguno de ellos, digamos $ n $, cumple que cada uno de los otros dos es, o bien divisor, o bien múltiplo de $ n $. Para cada terna compatible de números entre 1 y 2002 se calcula la suma de los tres números de la terna. ¿Cuál es la mayor suma obtenida? ¿Cuáles son las ternas en las que se obtiene la suma máxima?

 24/07/2010 - 08:04
Residuos cuadráticos (módulo 4) Avanzado, Números, XVI OMM 2002

Sean $ n $ un entero positivo. ¿Tiene $ n^2 $ más divisores positivos de la forma $ 4k+1 $ o de la forma $ 4k-1 $?

 24/07/2010 - 07:57
Problema 3, IMO 2010 Enfermo, Números, IMO 2010

Sea $ \mathbb{N} $ el conjunto de los enteros positivos. Determine todas las funciones $ g : \mathbb{N} \to \mathbb{N} $ tales que

$$\left( g(m) + n\right) \left(m + g(n) \right) $$

es un cuadrado perfecto para todo $ m, n \in \mathbb{N} $.

 19/07/2010 - 20:44