Números

Problema

El multiplo de 2000 más pequeño que es suma de los primeros cuadrados

Enviado por jesus el 18 de Octubre de 2008 - 20:18.

Encuentra el número entero $ n > 0 $ más pequeño que satisface que 2000 divide a

$$ 1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 $$.

Problema

El abuelo y la niña generalizado

Enviado por jmd el 13 de Octubre de 2008 - 12:59.

 Kika tiene $ n $ objetos. Un día llega de la escuela y… ¡Abuelo! ¡Abuelo! Perdí $ x $. Y el abuelo la consuela: piensa en que si hubieses encontrado $ x $, ahora tendrías $ y $ veces los que ahora tienes. Encontrar todas las parejas $(x, n)$ en términos de $ y $, para que el diálogo entre la niña y el abuelo tenga sentido en enteros positivos ($x, y, n$ enteros positivos).

(El problema original dice: perdí 2. Y el abuelo dice: si hubieses encontrado 2 ahora tendrías 5 veces los que ahora tienes.)

Problema

En sucesión modular busca el ciclo

Enviado por jmd el 5 de Octubre de 2008 - 06:34.

Considere la sucesión $1, 9, 8, 3, 4, 3, \ldots$ en la cual $a_{n+4}$ es el dígito de la unidades de $a_n + a_{n+3},$ para $ n $ entero positivo. Demuestre que $a_{1985}^2 +a_{1986}^2+ \ldots + a_{2000}^2$ es un múltiplo de $ 2 $.

Problema

suma de divisores

Enviado por jmd el 2 de Octubre de 2008 - 08:54.

Demuestre que hay una infinidad de enteros positivos $ n $ tales que la suma de los divisores positivos del número $2008^n-1$ es divisible entre $ n $.


 

Problema

Un sistema diofantino irracional

Enviado por jmd el 2 de Octubre de 2008 - 08:04.

 Determine todas las parejas $(x,y)$ de enteros positivos, tales que $x+y=a^n$ y $x^2+y^2=a^m$ para algunos enteros positivos $a, m, n.$


 

Problema

metodo chino del resto y ptf

Enviado por jmd el 14 de Septiembre de 2008 - 20:09.

Sea $f(n)=5n^{13}+13n^5+9an$. Encontrar el mínimo entero positivo$ a $ para el cual $f(n)$ es divisible entre $65$ para cada entero $ n $.

Problema

Método del residuo chino

Enviado por jmd el 11 de Septiembre de 2008 - 05:51.

Una compañía de n soldados es tal que:

– n es un número capicúa. (Se lee igual al derecho y al revés. Ejemplo:15651, 9436349.) – Si los soldados se forman de 3 en 3, quedan 2 soldados en la última fila; de 4 en 4, quedan 3 soldados en la última fila; de 5 en 5, quedan 5 soldados en la última fila.

Hallar el menor n que cumple las condiciones y demostrar que hay una infinidad de valores n que las satisfacen.

Problema

sobre consecutivos y cuadrados perfectos

Enviado por jesus el 22 de Julio de 2008 - 13:41.

Demostrar que el producto de 4 enteros consecutivos, sumándole 1, siempre es un cuadrado perfecto.

Problema

Sobre primos y cuadrados perfectos

Enviado por jesus el 22 de Julio de 2008 - 13:22.

Encontrar todos los primos p < q < r tales que

  • 25pq + r = 2004 y
  • pqr + 1 es cuadrado perfecto.
Problema

Una progresion aritmetica de cuadrados

Enviado por jesus el 22 de Julio de 2008 - 12:33.

Demostrar que tres cuadrados perfectos en progresión aritmética tienen una diferencia constante que es múltiplo de 24.(En otras palabras, si $c^2 - b^2 = b^2 - a^2 = d$, entonces $ d $ es múltiplo de 24.)

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