Problemas

Esta es nuestra colección de problemas. Los hemos clasificados por tema, dificultad y tipo de concurso. No dudes en escribir comentarios con tus soluciones o con cualquier duda sobre el problema.
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
Problema

Plantas vs Zombies

Enviado por jmd el 8 de Mayo de 2012 - 07:54.

 

En la versión 20.12 del juego Plantas vs Zombies, el campo de batalla es un jardín que se divide en 45 casillas, como se muestra en el dibujo. En esta versión del juego debes colocar en cada casilla una planta o un zombie y ganas si neutralizas el jardín. Para ello debe haber en cualquier cuadro de $2\times2$ casillas dos plantas y dos zombies. Encuentra el número de acomodos posibles que te permita ganar el juego.

Problema

Colocación de fichas en el borde de un tablero

Enviado por jmd el 8 de Mayo de 2012 - 07:52.

 

Luis tiene un tablero cudriculado con la misma cantidad de filas que de columnas. Las casillas del contorno del tablero están coloreadas de gris. También tiene suficientes fichas numeradas (1,2,3,...) que coloca en las casillas grises de la siguiente manera:

La ficha 1 la pone en la casilla izquierda y, a partir de ahí, el resto las coloca una en cada casilla, consecutivamente de menor a mayor en sentido de las manecillas del reloj. Una vez que llega a la posición inicial sigue colocando fichas sobre las que ya están puestas. Deja de poner fichas cuando observa que los números que están a la vista en las casillas de las esquinas del tablero suman 2012.

Problema

Problemas del segundo dia del nacional 12 ONMAS

Enviado por cuauhtemoc el 7 de Mayo de 2012 - 10:57.

Problema

Números Paceños

Enviado por jmd el 5 de Mayo de 2012 - 20:24.

 

Se dice que un número es Paceño si al escribir sus dígitos en orden inverso se obtiene un número mayor que él. Por ejemplo, el 3426 es Paceño porque 6243 es mayor que 3426, mientras que el 774 no es Paceño porque 477 no es mayor que 774. ¿Cuántos números de cinco dígitos son Paceños?

Problema

Diferencia de áreas de flores en octágono

Enviado por jmd el 5 de Mayo de 2012 - 20:23.

A partir de un octágono regular de lado 10 cm, Anita dibuja dos flores como se muestran a continuación:

¿Cuál es la diferencia entre las áreas de las flores?

Problema

Juego de números en un tablero romboidal

Enviado por jmd el 5 de Mayo de 2012 - 20:21.

En cada rombo de la figura se coloca un número diferente del 1 al 9. Enseguida, dentro de los círculos se escribe la suma de los dos números que comparten ese lado. Finalmente, se suman los números escritos en los círculos.

De todas las sumas posibles ¿cuál es la diferencia entre la mayor y la menor?

Problema

Tesoro de Hernán Cortés --en 2012 cofres

Enviado por jmd el 5 de Mayo de 2012 - 18:24.

En la Bahía de la Paz, Hernán Cortés guardó su tesoro en 2012 cofres con sus respectivos candados. Cada candado y su cofre están numerados del 1 al 2012. Cortés metió al azar una llave en cada cofre y cerró los candados para que nadie tomara el tesoro.  Mucho tiempo después, se halló el tesoro de Cortés. Los arqueólogos van a forzar los candados marcados con los números 1 y 2 para obtener así dos de las llaves con la esperanza de que con ellas sea posible abrir sucesivamente todos los demás cofres. ¿De cuántas maneras pudieron quedar distribuidas inicialmente las llaves dentro de los cofres de manera que la estrategia de los arqueólogos sea exitosa?

Problema

Encontrar ángulo dada una bisectriz

Enviado por jmd el 5 de Mayo de 2012 - 18:21.

En un rectángulo $ABCD$, $F$ es el punto medio del lado $CD$ y $E$ es un punto del lado $BC$ tal que $AF$ es bisectriz del ángulo $EAD$. Si el ángulo $AEF$ mide 68 grados ¿cuál es la medida del ángulo $BAE$?

Problema

Múltiplo de cada uno de sus dígitos

Enviado por jmd el 5 de Mayo de 2012 - 18:17.

Encuentra el mayor número $N$ que cumpla, al mismo tiempo, las siguientes condiciones:

  • a) Todos los dígitos de $N$ son distintos,
  • b) $N$ es múltiplo de cada uno de sus dígitos.
Problema

Los problemas del nacional de la 12 ONMAS

Enviado por cuauhtemoc el 5 de Mayo de 2012 - 11:15.

Problema

Cuadrados

Enviado por Alexdidir el 1 de Mayo de 2012 - 17:21.

Hallar el mínimo k>2 para el cual existen k numeros enteros consecutivos tales que la suma de sus cuadrados es un cuadrado

Problema

Imposibilidad de nueve rectángulos

Enviado por jmd el 1 de Mayo de 2012 - 16:25.

 

Una cuadrícula de $6\times6$ se va a recortar en rectángulos siguiendo las líneas de la cuadrícula. Muestra que no es posible hacer una división de la cuadrícula en 9 rectángulos diferentes.
 

Problema

Área de pentágono

Enviado por jmd el 1 de Mayo de 2012 - 16:24.

 

Por los vértices D y A del cuadrado ABCD de lado 5 se trazan, respectivamente, los segmentos paralelos DE y AF hacia afuera del cuadrado, de tal manera DE mide 4 y es perpendicular a EF. Encuentra el área del pentágono ABCEF.
 

Problema

Ecuación de suma de fracciones

Enviado por jmd el 1 de Mayo de 2012 - 16:22.

 

Si $a$ y $b$ son enteros distintos entre sí y diferentes de cero que cumplen $\frac{a-2010}{b}+\frac{b+2010}{a}=2$ ¿cuál es el valor de $a-b$?
 
Problema

Razonado con suma de dígitos

Enviado por jmd el 1 de Mayo de 2012 - 16:20.

 

Mauricio ya cumplió años en el 2010. Al sumar los dígitos de la fecha de su nacimiento se dio cuenta que obtenía su edad. ¿Cuántos años puede tener Mauricio?
 

Problema

Seccionado de un cubo de lado $3$

Enviado por jmd el 1 de Mayo de 2012 - 16:18.

 

Un cubo de lado 3 se divide en 27 cubitos unitarios. ¿De cuántas formas podemos elegir tres cubitos de manera que sus centros estén en una misma recta? Nota: El centro de un cubito se localiza en el punto medio de una diagonal mayor.
 

Problema

Demostrar perpendicular

Enviado por jmd el 1 de Mayo de 2012 - 06:22.

Sean $ABC$ un triángulo rectángulo y $M$ el punto medio de la hipotenusa $BC$. Sus catetos cumplen que $CA$ es menor que $AB$. Se coloca un punto $D$ sobre $AB$ de manera que $CA = AD$. Finalmente, sea $E$ el punto común de $AM$ y $CD$. Si $F$ es un punto sobre $BC$ tal que $EF$ es paralela a BC $AC$, demostrar que $AM$ es perpendicular a $FD$.

Problema

Tangentes a circunferencia desde el centro de otra

Enviado por jmd el 1 de Mayo de 2012 - 06:19.

 

Considere las circunferencias $a$ y $b$ de centros $A$ y $B$ respectivamente. Desde el centro $A$ se trazan las tangentes a $b$ y éstas cortan a $a$ en los puntos $P$ y $Q$. Desde el centro $B$ se trazan las tangentes a $a$ que cortan a $b$ en $R$ y $S$. Demostrar que $PQRS$ es un rectángulo.
 

Problema

Número igual a la suma del factorial de sus dígitos

Enviado por jmd el 1 de Mayo de 2012 - 06:18.

 

Encontrar todos los números de 3 dígitos de la forma $abc$ ($a$ es el dígito de las centenas, $b$ es el dígito de las decenas y $c$ es el dígito de las unidades) que cumplan con: $abc = a!+b!+c!.$ (Nota: n! es el producto n(n-1)...(2)(1) y se lee $n$ factorial.)
 

Problema

Sumas de productos de filas y columnas en un tablero

Enviado por jmd el 1 de Mayo de 2012 - 06:17.

 

En un tablero de 2009 x 2009 cuadritos, se han llenado todos los cuadritos usando solamente 1 o -1, y se ha obtenido el producto de los números de cada fila y de cada columna. Encontrar todas las posibles sumas de estos 4018 productos.
Ejemplo: en un tablero de 3x3 un posible llenado es:
1 1 1
1 1 -1
1 1 1
y la suma de los 6 productos 1 + 1 -1 +1 -1 +1 = 2