Problemas

Esta es nuestra colección de problemas. Los hemos clasificados por tema, dificultad y tipo de concurso. No dudes en escribir comentarios con tus soluciones o con cualquier duda sobre el problema.
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
Problema

EGMO Problema 4 - Conjunto de enteros llenos por sumas y libres de sumar cero

Enviado por jesus el 22 de Mayo de 2012 - 15:17.

Un conjunto $A$ de enteros es llamado lleno por sumas si $A \subseteq A + A$, es decir, que cada elemento $a \in A$ es la suma de algún par (no necesarimante distintos) de elementos $b,c \in A$.

Un conjunto $A$ de enteros es llamado libre de sumar cero si 0 es el único entero que no puede ser expreado como la suma de los elementos de un subconjunto finito y no vacio de $A$.

¿Existirá un conjunto de enteros lleno por sumas y libre de sumar cero?

Problema

Testamento..... A ver si puedes

Enviado por Adiel el 20 de Mayo de 2012 - 19:03.

La mamá de Vero esta haciendo su testamento. A sus tres hijas le dará en herencia el número de pesos que calculen como sigue:

Problema

EGMO 2012 Problema 3 - Relación funcional en los reales

Enviado por jesus el 11 de Mayo de 2012 - 21:17.

Entontrar todas las funciones $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que: $$f(yf(x+y)+f(x)) = 4x + 2yf(x+y)$$ para todo $x, y \in \mathbb{R}$.

©Traducido de la versión en ingles para Matetam.com

Problema

Perímetro de hexágono --con dos equiláteros superpuestos

Enviado por jmd el 8 de Mayo de 2012 - 10:45.

 

Dos triángulos equiláteros $ABC$ y $DEF$ de perímetros 36 y 27 centímetros, respectivamente, están sobrepuestos, formando un ángulo de 120 grados como se muestra en la figura. Calcula el perímetro del hexágono sombreado.

 

Problema

División sucesiva entre 14 de 2012!

Enviado por jmd el 8 de Mayo de 2012 - 10:42.

 

Rosy efectúa la multiplicación $1\times2\times3\times\ldots\times2012$, luego divide el producto entre 14, y continúa dividiendo --cada uno de los cocientes obtenidos-- entre 14. ¿Cuál es el mínimo número de divisiones que tendrá que hacer Rosy para que el cociente de la división ya no sea un número entero?

 

Problema

Demostrar punto medio --si un ángulo es el triple de otro

Enviado por jmd el 8 de Mayo de 2012 - 08:55.

 

Sean $W_1$ y $W_2$ dos circunferencias de centros $O_1$ y $O_2$, respectivamente, que se intersectan en los puntos $A$ y $B$. El punto $C$ está sobre $W_1$ y es diametralmente opuesto a $B$. Las rectas $CB$ y $CA$ cortan de nuevo a $W_2$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente, donde el punto $B$ está entre $C$ y $Q$. Las rectas $O_1A$ y $PQ$ se intersectan en el punto $R$. Si la medida del ángulo $PBQ$ es el triple que la del ángulo $PCQ$, demuestra que $AO_1=AR$

Problema

Plantas vs Zombies

Enviado por jmd el 8 de Mayo de 2012 - 08:54.

 

En la versión 20.12 del juego Plantas vs Zombies, el campo de batalla es un jardín que se divide en 45 casillas, como se muestra en el dibujo. En esta versión del juego debes colocar en cada casilla una planta o un zombie y ganas si neutralizas el jardín. Para ello debe haber en cualquier cuadro de $2\times2$ casillas dos plantas y dos zombies. Encuentra el número de acomodos posibles que te permita ganar el juego.

Problema

Colocación de fichas en el borde de un tablero

Enviado por jmd el 8 de Mayo de 2012 - 08:52.

 

Luis tiene un tablero cudriculado con la misma cantidad de filas que de columnas. Las casillas del contorno del tablero están coloreadas de gris. También tiene suficientes fichas numeradas (1,2,3,...) que coloca en las casillas grises de la siguiente manera:

La ficha 1 la pone en la casilla izquierda y, a partir de ahí, el resto las coloca una en cada casilla, consecutivamente de menor a mayor en sentido de las manecillas del reloj. Una vez que llega a la posición inicial sigue colocando fichas sobre las que ya están puestas. Deja de poner fichas cuando observa que los números que están a la vista en las casillas de las esquinas del tablero suman 2012.

Problema

Problemas del segundo dia del nacional 12 ONMAS

Enviado por cuauhtemoc el 7 de Mayo de 2012 - 11:57.

Problema

Números Paceños

Enviado por jmd el 5 de Mayo de 2012 - 21:24.

 

Se dice que un número es Paceño si al escribir sus dígitos en orden inverso se obtiene un número mayor que él. Por ejemplo, el 3426 es Paceño porque 6243 es mayor que 3426, mientras que el 774 no es Paceño porque 477 no es mayor que 774. ¿Cuántos números de cinco dígitos son Paceños?

Problema

Diferencia de áreas de flores en octágono

Enviado por jmd el 5 de Mayo de 2012 - 21:23.

A partir de un octágono regular de lado 10 cm, Anita dibuja dos flores como se muestran a continuación:

¿Cuál es la diferencia entre las áreas de las flores?

Problema

Juego de números en un tablero romboidal

Enviado por jmd el 5 de Mayo de 2012 - 21:21.

En cada rombo de la figura se coloca un número diferente del 1 al 9. Enseguida, dentro de los círculos se escribe la suma de los dos números que comparten ese lado. Finalmente, se suman los números escritos en los círculos.

De todas las sumas posibles ¿cuál es la diferencia entre la mayor y la menor?

Problema

Tesoro de Hernán Cortés --en 2012 cofres

Enviado por jmd el 5 de Mayo de 2012 - 19:24.

En la Bahía de la Paz, Hernán Cortés guardó su tesoro en 2012 cofres con sus respectivos candados. Cada candado y su cofre están numerados del 1 al 2012. Cortés metió al azar una llave en cada cofre y cerró los candados para que nadie tomara el tesoro.  Mucho tiempo después, se halló el tesoro de Cortés. Los arqueólogos van a forzar los candados marcados con los números 1 y 2 para obtener así dos de las llaves con la esperanza de que con ellas sea posible abrir sucesivamente todos los demás cofres. ¿De cuántas maneras pudieron quedar distribuidas inicialmente las llaves dentro de los cofres de manera que la estrategia de los arqueólogos sea exitosa?

Problema

Encontrar ángulo dada una bisectriz

Enviado por jmd el 5 de Mayo de 2012 - 19:21.

En un rectángulo $ABCD$, $F$ es el punto medio del lado $CD$ y $E$ es un punto del lado $BC$ tal que $AF$ es bisectriz del ángulo $EAD$. Si el ángulo $AEF$ mide 68 grados ¿cuál es la medida del ángulo $BAE$?

Problema

Múltiplo de cada uno de sus dígitos

Enviado por jmd el 5 de Mayo de 2012 - 19:17.

Encuentra el mayor número $N$ que cumpla, al mismo tiempo, las siguientes condiciones:

  • a) Todos los dígitos de $N$ son distintos,
  • b) $N$ es múltiplo de cada uno de sus dígitos.
Problema

Los problemas del nacional de la 12 ONMAS

Enviado por cuauhtemoc el 5 de Mayo de 2012 - 12:15.

Problema

Cuadrados

Enviado por Alexdidir el 1 de Mayo de 2012 - 18:21.

Hallar el mínimo k>2 para el cual existen k numeros enteros consecutivos tales que la suma de sus cuadrados es un cuadrado

Problema

Imposibilidad de nueve rectángulos

Enviado por jmd el 1 de Mayo de 2012 - 17:25.

 

Una cuadrícula de $6\times6$ se va a recortar en rectángulos siguiendo las líneas de la cuadrícula. Muestra que no es posible hacer una división de la cuadrícula en 9 rectángulos diferentes.
 

Problema

Área de pentágono

Enviado por jmd el 1 de Mayo de 2012 - 17:24.

 

Por los vértices D y A del cuadrado ABCD de lado 5 se trazan, respectivamente, los segmentos paralelos DE y AF hacia afuera del cuadrado, de tal manera DE mide 4 y es perpendicular a EF. Encuentra el área del pentágono ABCEF.
 

Problema

Ecuación de suma de fracciones

Enviado por jmd el 1 de Mayo de 2012 - 17:22.

 

Si $a$ y $b$ son enteros distintos entre sí y diferentes de cero que cumplen $\frac{a-2010}{b}+\frac{b+2010}{a}=2$ ¿cuál es el valor de $a-b$?