Problemas

Esta es nuestra colección de problemas. Los hemos clasificados por tema, dificultad y tipo de concurso. No dudes en escribir comentarios con tus soluciones o con cualquier duda sobre el problema.
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
Problema

Elección condicionada de 3

Enviado por jmd el 1 de Mayo de 2012 - 06:15.

¿De cuántas maneras se pueden escoger 3 números diferentes del conjunto $C=\{1,2,3,...,19,20\}$ de manera que la suma de esos tres números sea múltiplo de 3?

Problema

Círculo de diámetro la base de un triángulo

Enviado por jmd el 1 de Mayo de 2012 - 06:14.

 

Sea $ABC$ un triángulo tal que la circunferencia $S$ de diámetro $BC$ pasa por el punto medio $M$ de $AB$. Sea $N$ un punto sobre $S$ de manera que $MN$ es diámetro de $S$. Probar que el área del triángulo $ABC$ entre el área del triángulo $MNC$ es 2.
 

Problema

Semáforos en la Avenida Salsipuedes

Enviado por jmd el 1 de Mayo de 2012 - 06:13.

 

Problema

Razón de áreas

Enviado por jmd el 1 de Mayo de 2012 - 06:08.

En el rectángulo $ABCD$, los puntos $P, Q, R, S$, uno en cada lado, dividen el lado donde están en razón 3:2. ¿Cuál es el cociente del área del paralelogramo $PQRS$ entre el área de la región del rectángulo que queda afuera del paralelogramo? (N del E: en el examen se dio la figura.)

 

Problema

Minimizar invitaciones

Enviado por jmd el 1 de Mayo de 2012 - 06:06.

En el Messenger (MSN), para que dos personas estén en contacto, es suficiente con que una de ellas envíe una invitacíon a la otra y ésta la acepte. Luis tiene 114 amigos de la ONMAS 2009, y ninguno de ellos se tiene agregado al Messenger entre sí. Luis les propone a ellos la idea de ponerse en contacto. ¿Cuál es el número mínimo de invitaciones aceptadas para que Luis y todos sus amigos estén en contacto por el MSN?

Problema

Demostrar paralelogramo

Enviado por jmd el 29 de Abril de 2012 - 10:44.

Sean $ABCD$ un paralelogramo, y $P, Q, R, S$ puntos exteriores a él. $M_1$ y $M_2$ son puntos medios de $PA$ y $AQ$, respectivamente, y $G_1$ la intersección de $QM_1$ y $PM_2$. ($G_1$ es el gravicentro del triángulo $PAQ$). De la misma manera se localizan los puntos $G_2, G_3, G_4$ en los triángulos $QRB, RSC$ y $SPD$, respectivamente. Demuestre que $G_1G_2G_3G_4$ es un paralelogramo.

 

Problema

Pesas y pesadas

Enviado por jmd el 29 de Abril de 2012 - 10:40.

Se tiene una balanza de dos platillos y un número $n$ de piezas de idéntica apariencia, pero una de ellas tiene un peso mayor al de las demás. ¿Cuál debe ser el valor máximo de $n$ para encontrar la pieza de peso diferente en a lo más cuatro pesadas?

 

Problema

Dos listas de números

Enviado por jmd el 29 de Abril de 2012 - 10:37.

Juan tiene la lista de todos los números de 8 dígitos que se pueden formar con cuatro 1’s y cuatro 2’s. José tiene la lista de todos los números de cuatro dígitos que se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3 y 4 y que tengan la misma cantidad de 1’s que de 2’s. Por ejemplo: 1234, 3343, 1122, etc. ¿Quién tiene más números en su lista?

 

Problema

2007 ONMAS escalera

Enviado por jmd el 29 de Abril de 2012 - 10:35.

Tengo 2007 rectángulos de dimensiones $1\times1, 1\times2, 1\times3,…, 1\times2007$ y los coloco en ese orden poniendo uno horizontal, luego otro vertical, etc. (como se muestra en la figura) formando una escalera.

 


¿Cuánto mide el segmento que va desde el punto A hasta el punto B?
 

Problema

Cuadrado deslizante en hexágono

Enviado por jmd el 29 de Abril de 2012 - 10:31.

En la esquina inferior izquierda de un hexágono regular de lado 4 metros se coloca un cuadrado de lado 2 metros, tal y como se observa en la parte izquierda de la figura.

El cuadrado “rueda” (sin deslizarse) sobre los lados del hexágono y por la parte interior de éste, girando en el sentido inverso de las agujas del reloj y manteniendo siempre un vértice apoyado en un lado del hexágono (el primer movimiento aparece en la figura). Cuando el punto $P$ --que es la intersección de las diagonales del cuadrado-- vuelve a su posición inicial ¿Cuántos metros ha recorrido?

Problema

Residuo de una serie de potencias

Enviado por jmd el 29 de Abril de 2012 - 10:25.

Encontrar el residuo de dividir entre 5 el número $N= 1 + 4 + 4^2 + 4^3 + 4^4 +\ldots+4^{2007}$

 

Problema

Reparto circular con regla añadida

Enviado por jmd el 29 de Abril de 2012 - 10:23.

El abuelo reparte 2007 monedas entre sus nueve nietos (digamos A, B, C, D, E, F, G, H e I) de la siguiente manera: Los sienta alrededor de una mesa en el orden de sus nombres y va entregando en ese mismo orden una moneda a cada uno; empieza con A y, al completar la vuelta, la siguiente vuelta comienza con el último, es decir, le entrega una más a I y continúa con A; entregando moneda por moneda, termina la siguiente vuelta con H, le entrega su moneda y con él mismo inicia la siguiente vuelta. Procede de esta manera hasta agotar todas las 2007 monedas. ¿Cuántas monedas le tocaron a cada nieto? ¿A cuál de los nietos le entregó la última moneda?

 

Problema

Un cuadrilátero con muchos segmentos iguales

Enviado por jmd el 29 de Abril de 2012 - 10:17.

En un cuadrilátero $ABCD$, con ángulos interiores menores a 180 grados, los lados $AB, BC$ y $CD$ son iguales. También sabemos que $AD = AC = BD$. Encuentra la medida del ángulo $ABC$.

 

Problema

Suma de divisores mínima

Enviado por jmd el 29 de Abril de 2012 - 10:15.

Encuentra el número mayor que 2007 tal que la suma de todos sus divisores sea la mínima.

 

Problema

Múltiplos de 6 y de 7... y potencia de 11

Enviado por jmd el 28 de Abril de 2012 - 18:12.

Paz hace una lista con todos los números del 1 al 2006. Encierra en un círculo todos los números que son múltiplos de 6. Luego, encierra en un círculo todos los números que son múltiplos de 7. Finalmente, multiplica todos los números que encerró. ¿Cuál es la mayor potencia de 11 que divide exactamente al resultado de esta multiplicación?

 

Problema

Bolsas con canicas

Enviado por jmd el 28 de Abril de 2012 - 18:10.

Se tiene cierto número de bolsas acomodadas en una fila. En ellas se meten canicas de la siguiente forma: en la primera bolsa se mete una canica, en la segunda bolsa dos, en la tercera tres y así sucesivamente. Luis escoge una bolsa que tiene catorce canicas menos que la última bolsa de la fila y observa que la suma de todas las canicas de las bolsas que están a la derecha de la que escogió es igual a la suma de las que están a la izquierda. ¿Cuántas canicas tiene la bolsa que Luis escogió?

Problema

Origen de un número

Enviado por jmd el 28 de Abril de 2012 - 18:09.

Para cualquier número natural $n$ se dice que su origen se calcula multiplicando sus cifras, después las cifras del resultado, y así sucesivamente hasta llegar a un número de una sola cifra. Por ejemplo, el origen del 149 es el 8, ya que $149\rightarrow36\rightarrow 18\rightarrow 8$; y el origen del 5486 es el 0, ya que $5486\rightarrow 960\rightarrow 0$. Encuentra la suma de todos los números de dos o más cifras distintas, tales que su origen sea un número impar.

 

Problema

¿Cuál mediana forma dos isósceles?

Enviado por jmd el 28 de Abril de 2012 - 18:06.

Sean $ABC$ un triángulo, y $D$ y $E$ puntos sobre $AC$ y $BC$, respectivamente, tales que $AB$ es paralelo a $DE$. Sea $P$ el pie de la altura trazada desde $A$ al segmento $BC$. Si el ángulo $ACB$ es de 20 grados y $AB = 2DE$, encuentre el valor del ángulo $PDC$.

 

Problema

Mayor divisor, 7 veces el menor

Enviado por jmd el 28 de Abril de 2012 - 18:04.

Encontrar todos los números naturales $n$ tales que sus divisores, distintos de $1$ y $n$, cumplen que el más grande es 7 veces el más pequeño.

 

Problema

Altura de un paralelogramo

Enviado por jmd el 28 de Abril de 2012 - 07:27.

En la figura, el rectángulo tiene lados de 10 cm. y de 8 cm. y éstos se han dividido como se indica de manera que al unir los puntos de división se forma un paralelogramo (ojo sus ángulos no son rectos). Calcula la distancia entre los lados paralelos más pequeños, indicada con la línea d.