Problemas

Esta es nuestra colección de problemas. Los hemos clasificados por tema, dificultad y tipo de concurso. No dudes en escribir comentarios con tus soluciones o con cualquier duda sobre el problema.
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
Problema

Coloreo roji-azul de 2n puntos alineados

Enviado por jmd el 9 de Enero de 2012 - 22:41.

Dado un entero positivo $n$, en un plano se consideran $2n$ puntos alineados $A_1, A_2,\ldots, A_{2n}$. Cada punto se colorea de azul o rojo mediante el siguiente procedimiento:

  • En el plano dado se trazan $n$ circunferencias con diámetros de extremos $A_i$ y $A_j$ , disyuntas dos a dos.
  • Cada $A_k, 1\leq k\leq 2n$, pertenece exactamente a una circunferencia.
  • Se colorean los puntos de modo que los dos puntos de una misma
    circunferencia lleven el mismo color.

Determine cuántas coloraciones distintas de los $2n$ puntos se pueden obtener al variar las $n$ circunferencias y la distribución de los dos colores.

Problema

Operación residual sobre dos enteros positivos

Enviado por jmd el 9 de Enero de 2012 - 22:36.

Dados dos enteros positivos $a$ y $b$, se denota por $(a\nabla b)$ al residuo que se obtiene al dividir $a$ entre $b$. Este residuo es uno de los números $0, 1,\ldots, b - 1$. Encuentre todas las parejas de números $(a, p)$ tales que $p$ es primo y se cumple que $$(a\nabla p) + (a\nabla 2p) + (a\nabla 3p) + (a\nabla 4p) = a + p.$$

Problema

Ecuación de inversos

Enviado por jmd el 9 de Enero de 2012 - 22:35.

Sea $p > 3$ un número primo. Si $$\frac{1}{1^p}+\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}+\ldots+\frac{1}{(p-1)^p}=\frac{n}{m}$$ donde el máximo común divisor de $n$ y $m$ es 1. Demuestre que $p^3$ divide a $n$.

Problema

Pulga saltona --en la recta numérica

Enviado por jmd el 9 de Enero de 2012 - 22:32.

 Una pulga salta sobre puntos enteros de la recta numérica. En su primer movimiento
salta desde el punto 0 y cae en el punto 1. Luego, si en un movimiento la pulga saltó desde el punto $a$ y cayó en el punto $b$, en el siguiente movimiento salta desde el punto $b$ y cae en uno de los puntos $b + (b - a) - 1, b + (b - a), b + (b - a) + 1.$

Demuestre que si la pulga ha caído dos veces sobre el punto $n$, para $n$ entero
positivo, entonces ha debido hacer al menos $t$ movimientos, donde $t$ es el menor
entero mayor o igual que $2\sqrt{n}$.

Problema

Sistema de ecuaciones

Enviado por jmd el 9 de Enero de 2012 - 22:30.

Determine todas las ternas de números reales $(x, y, z)$ que satisfacen el siguiente
sistema de ecuaciones:
$$xyz = 8,$$
$$x^2y + y^2z + z^2x = 73,$$
$$x(y - z)^2 + y(z - x)^2 + z(x - y)^2 = 98.$$

Problema

Punto de corte de un conjunto de puntos

Enviado por jmd el 6 de Enero de 2012 - 21:23.

Para un conjunto $H$ de puntos en el plano, se dice que un punto $P$ del plano es un punto de corte de $H$ si existen cuatro puntos distintos $A, B, C, D$ en $H$ tales que las rectas $AB$ y $CD$ son distintas y se cortan en $P$. 

Dado un conjunto finito $A_0$ de puntos en el plano, se construye una sucesión de conjuntos $A_1, A_2, A_3,\ldots$ de la siguiente manera: para cualquier $j\geq 0$ , $A_{j+1}$ es la unión de $A_j$ con el conjunto de todos los puntos de corte de $A_j$.

Demostrar que si la unión de todos los conjuntos de la sucesión es un conjunto finito,
entonces para cualquier $j\geq 1$ se tiene que $A_j = A_1$.

Problema

Bisectrices y mediatrices de un escaleno

Enviado por jmd el 6 de Enero de 2012 - 21:20.

Dado un triángulo escaleno $ABC$, sean $A', B'$ y $C'$ los puntos de intersección de las bisectrices interiores de los ángulos $A, B$ y $C$ con los lados opuestos, respectivamente. Sean $A''$ la intersección de $BC$ con la mediatriz de $AA'$, $B''$ la intersección de $AC$ con la mediatriz de $BB'$ y $C''$ la intersección de $AB$ con la mediatriz de $CC'$. Probar que $A'', B''$ y $C''$ son colineales.

Problema

Cuadrados perfectos formados con dos números

Enviado por jmd el 6 de Enero de 2012 - 21:18.

Determinar todas las parejas $(a,b)$, donde $a$ y $b$ son enteros positivos de dos dígitos cada uno, tales que $100a + b$ y $201a + b$ son cuadrados perfectos de cuatro dígitos.

Problema

Igualdad de múltiplos comunes mínimos

Enviado por jmd el 6 de Enero de 2012 - 21:17.

Sean $n$ y $k$ enteros positivos tales que o bien $n$ es impar o bien $n$ y $k$ son pares. Probar que existen enteros $a$ y $b$ tales que  $$mcd (a, n) = mcd (b, n) = 1, k = a + b.$$

Problema

Lugar geométrico de centros de circunferencias

Enviado por jmd el 6 de Enero de 2012 - 21:14.

Se considera en el plano una circunferencia de centro $O$ y radio $r$ y un punto $A$ exterior a ella. Sea $M$ un punto de la circunferencia y $N$ el punto diametralmente opuesto a $M$. Hallar el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que pasan por $A, M$ y $N$ al variar $M$.

Problema

Condiciones de coloreo de un tablero

Enviado por jmd el 6 de Enero de 2012 - 21:12.

Se deben colorear casillas de un tablero de $1001\times 1001$ de acuerdo a las reglas siguientes:

  • Si dos casillas tienen un lado común, entonces al menos una de ellas se debe colorear.
  • De cada seis casillas consecutivas de una fila o de una columna, siempre se deben colorear al menos dos de ellas que sean adyacentes.

Determinar el número mínimo de casillas que se deben colorear.

Problema

Ningún término es múltiplo de 2003

Enviado por jmd el 6 de Enero de 2012 - 21:01.

Se definen las sucesiones $(a_n)_{n\geq 0} , (b_n)_{n\geq 0}$ de la siguiente manera:
$$a_0 =1 , b_0 = 4$$ y, para toda $n\geq 0$, $$a_{n+1}=a_n^{2001}+b_n, b_{n+1}=b_n^{2001}+a_n$$ Demuestre que 2003 no divide a ninguno de los términos de estas sucesiones.

Problema

Triángulo en un cuadrado

Enviado por jmd el 6 de Enero de 2012 - 20:57.

En el cuadrado $ABCD$, sean $P$ y $Q$ puntos pertenecientes a los lados $BC$ y $CD$  respectivamente, distintos de los extremos, tales que $BP=CQ$. Conside los puntos $X, Y$, con $X\neq Y$, pertenecientes a los segmentos $AP, AQ$, respectivamente. Demuestre que, cualesquiera que sean $X$ y $Y$, existe un triángulo cuyos lados tienen las longitudes de los segmentos $BX, XY$ y $DY$.

Problema

k-Subconjunto sin seis consecutivos

Enviado por jmd el 6 de Enero de 2012 - 20:55.

Sea $M =\{1,2,\ldots,49\}$ el conjunto de los primeros 49 enteros positivos. Determine el máximo entero $k$ tal que el conjunto $M$ tiene un subconjunto de $k$ elementos en el que no hay 6 números consecutivos. Para ese valor máximo de $k$, halle la cantidad de subconjuntos de $M$, de $k$ elementos, que tienen la propiedad mencionada.

 

Problema

Inferencias a partir de datos incompletos

Enviado por jmd el 6 de Enero de 2012 - 20:51.

Pablo estaba copiando el siguiente problema: 

Considere todas las sucesiones de 2004 números reales $(x_0,x_1,x_2,\ldots,x_{2003}),$  tales que \begin{eqnarray}
x_0 &=&1\\ 0\leq& x_1&\leq 2x_0,\\ 0\leq &x_2&\leq 2x_1,\\
&\vdots&\\ 0\leq &x_{2003}&\leq 2x_{2002}.\end{eqnarray}
Entre todas estas sucesiones, determine aquella para la cual la siguiente
expresión toma su mayor valor: $S =\ldots$.

Problema

Configuración con semicircunferencia

Enviado por jmd el 6 de Enero de 2012 - 20:46.

Sean $C$ y $D$ dos puntos de la semicircunferencia de diámetro $AB$ tales que $B$ y $C$ están en semiplanos distintos respecto de la recta $AD$. Denotemos con $M, N$ y $P$ los puntos medios de $AC, DB$ y $CD$, respectivamente. Sean $O_A$ y $O_B$ los circuncentros de los triángulos $ACP$ y $BDP$. Demuestre que las rectas $O_AO_B$ y $MN$ son paralelas.

Problema

Sucesiones de 2003 consecutivos

Enviado por jmd el 6 de Enero de 2012 - 20:44.
  • (a) Se tienen dos sucesiones de números, con 2003 enteros consecutivos y una tabla de dos renglones y 2003 columnas. Decida si siempre es posible distribuir los números de la primera sucesión en el primer renglón y la segunda sucesión en el segundo renglón, de tal manera que la sucesión obtenida de las 2003 sumas por columna forman una nueva sucesión de 2003 enteros consecutivos.
  • (b) Misma pregunta si hubiera 2004 columnas.

En ambos casos, si la respuesta es afirmativa, explique cómo se distribuirían los números, y si es negativa explicar por qué.

Problema

Policías y ladrones --en un tablero

Enviado por jmd el 6 de Enero de 2012 - 19:39.

Un policía intenta capturar a un ladrón en un tablero de $2001\times 2001$. Ellos juegan alternadamente y cada jugador, en su turno, debe moverse una casilla en uno de los tres siguientes sentidos:

($\downarrow$, abajo); ($\rightarrow$, derecha); ($\nwarrow$, diagonal arriba a la izquierda).

Si el policía se encuentra en la casilla de la esquina inferior derecha, puede usar su jugada para pasar directamente a la casilla de la esquina superior izquierda (el ladrón no puede hacer esta jugada). Inicialmente el policía está en la casilla central y el ladrón está en la casilla vecina diagonal superior derecha al policía. El policía comienza el juego. Demuestre que:

Problema

Un elemento de la sucesión es negativo

Enviado por jmd el 6 de Enero de 2012 - 19:31.

La sucesión de números reales $a_1, a_2,\ldots$ se define como sigue:
$a_1=50$ y $a_{n+1}=a_n-1/a_n$ para cada entero $n > 0$.
Demuestre que existe un entero $k$, $1 \leq k\leq 2002$, tal que $a_k < 0$.

Problema

Escaleno con bisectriz

Enviado por jmd el 6 de Enero de 2012 - 19:29.

En un triángulo escaleno $ABC$ se traza la bisectriz interior $BD$, con $D$ sobre $AC$. Sean $E$ y $F$, respectivamente, los pies de las perpendiculares trazadas desde $A$ y $C$ hacia la recta $BD$, y sea $M$ el punto sobre el lado $BC$ tal que $DM$ es perpendicular a $BC$. Demuestre que $\angle{EMD} = \angle{DMF}$.