Problemas

Esta es nuestra colección de problemas. Los hemos clasificados por tema, dificultad y tipo de concurso. No dudes en escribir comentarios con tus soluciones o con cualquier duda sobre el problema.
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
Problema

2007 ONMAS escalera

Enviado por jmd el 29 de Abril de 2012 - 10:35.

Tengo 2007 rectángulos de dimensiones $1\times1, 1\times2, 1\times3,…, 1\times2007$ y los coloco en ese orden poniendo uno horizontal, luego otro vertical, etc. (como se muestra en la figura) formando una escalera.

 


¿Cuánto mide el segmento que va desde el punto A hasta el punto B?
 

Problema

Cuadrado deslizante en hexágono

Enviado por jmd el 29 de Abril de 2012 - 10:31.

En la esquina inferior izquierda de un hexágono regular de lado 4 metros se coloca un cuadrado de lado 2 metros, tal y como se observa en la parte izquierda de la figura.

El cuadrado “rueda” (sin deslizarse) sobre los lados del hexágono y por la parte interior de éste, girando en el sentido inverso de las agujas del reloj y manteniendo siempre un vértice apoyado en un lado del hexágono (el primer movimiento aparece en la figura). Cuando el punto $P$ --que es la intersección de las diagonales del cuadrado-- vuelve a su posición inicial ¿Cuántos metros ha recorrido?

Problema

Residuo de una serie de potencias

Enviado por jmd el 29 de Abril de 2012 - 10:25.

Encontrar el residuo de dividir entre 5 el número $N= 1 + 4 + 4^2 + 4^3 + 4^4 +\ldots+4^{2007}$

 

Problema

Reparto circular con regla añadida

Enviado por jmd el 29 de Abril de 2012 - 10:23.

El abuelo reparte 2007 monedas entre sus nueve nietos (digamos A, B, C, D, E, F, G, H e I) de la siguiente manera: Los sienta alrededor de una mesa en el orden de sus nombres y va entregando en ese mismo orden una moneda a cada uno; empieza con A y, al completar la vuelta, la siguiente vuelta comienza con el último, es decir, le entrega una más a I y continúa con A; entregando moneda por moneda, termina la siguiente vuelta con H, le entrega su moneda y con él mismo inicia la siguiente vuelta. Procede de esta manera hasta agotar todas las 2007 monedas. ¿Cuántas monedas le tocaron a cada nieto? ¿A cuál de los nietos le entregó la última moneda?

 

Problema

Un cuadrilátero con muchos segmentos iguales

Enviado por jmd el 29 de Abril de 2012 - 10:17.

En un cuadrilátero $ABCD$, con ángulos interiores menores a 180 grados, los lados $AB, BC$ y $CD$ son iguales. También sabemos que $AD = AC = BD$. Encuentra la medida del ángulo $ABC$.

 

Problema

Suma de divisores mínima

Enviado por jmd el 29 de Abril de 2012 - 10:15.

Encuentra el número mayor que 2007 tal que la suma de todos sus divisores sea la mínima.

 

Problema

Múltiplos de 6 y de 7... y potencia de 11

Enviado por jmd el 28 de Abril de 2012 - 18:12.

Paz hace una lista con todos los números del 1 al 2006. Encierra en un círculo todos los números que son múltiplos de 6. Luego, encierra en un círculo todos los números que son múltiplos de 7. Finalmente, multiplica todos los números que encerró. ¿Cuál es la mayor potencia de 11 que divide exactamente al resultado de esta multiplicación?

 

Problema

Bolsas con canicas

Enviado por jmd el 28 de Abril de 2012 - 18:10.

Se tiene cierto número de bolsas acomodadas en una fila. En ellas se meten canicas de la siguiente forma: en la primera bolsa se mete una canica, en la segunda bolsa dos, en la tercera tres y así sucesivamente. Luis escoge una bolsa que tiene catorce canicas menos que la última bolsa de la fila y observa que la suma de todas las canicas de las bolsas que están a la derecha de la que escogió es igual a la suma de las que están a la izquierda. ¿Cuántas canicas tiene la bolsa que Luis escogió?

Problema

Origen de un número

Enviado por jmd el 28 de Abril de 2012 - 18:09.

Para cualquier número natural $n$ se dice que su origen se calcula multiplicando sus cifras, después las cifras del resultado, y así sucesivamente hasta llegar a un número de una sola cifra. Por ejemplo, el origen del 149 es el 8, ya que $149\rightarrow36\rightarrow 18\rightarrow 8$; y el origen del 5486 es el 0, ya que $5486\rightarrow 960\rightarrow 0$. Encuentra la suma de todos los números de dos o más cifras distintas, tales que su origen sea un número impar.

 

Problema

¿Cuál mediana forma dos isósceles?

Enviado por jmd el 28 de Abril de 2012 - 18:06.

Sean $ABC$ un triángulo, y $D$ y $E$ puntos sobre $AC$ y $BC$, respectivamente, tales que $AB$ es paralelo a $DE$. Sea $P$ el pie de la altura trazada desde $A$ al segmento $BC$. Si el ángulo $ACB$ es de 20 grados y $AB = 2DE$, encuentre el valor del ángulo $PDC$.

 

Problema

Mayor divisor, 7 veces el menor

Enviado por jmd el 28 de Abril de 2012 - 18:04.

Encontrar todos los números naturales $n$ tales que sus divisores, distintos de $1$ y $n$, cumplen que el más grande es 7 veces el más pequeño.

 

Problema

Altura de un paralelogramo

Enviado por jmd el 28 de Abril de 2012 - 07:27.

En la figura, el rectángulo tiene lados de 10 cm. y de 8 cm. y éstos se han dividido como se indica de manera que al unir los puntos de división se forma un paralelogramo (ojo sus ángulos no son rectos). Calcula la distancia entre los lados paralelos más pequeños, indicada con la línea d.

Problema

Cuadrados perfectos de tres dígitos consecutivos

Enviado por jmd el 28 de Abril de 2012 - 07:25.

Encuentra todos los números de tres cifras que sean cuadrados perfectos y que use cifras consecutivas. Por ejemplo 123, 132, 213, 231,312, 321 son números que usan las cifras consecutivas y 4 es un ejemplo de cuadrado perfecto.

Problema

El odómetro chafa

Enviado por jmd el 28 de Abril de 2012 - 07:24.

 

El odómetro (medidor de distancias recorridas) de un carro chafa siempre brinca de 3 a 5, saltándose el 4, sin importar la posición. Por ejemplo, después de viajar un kilómetro cambió de 000039 a 000050. Si el odómetro marca 002005, ¿cuántos kilómetros ha viajado en realidad el carro chafa?

Problema

Fichas en progresión aritmética

Enviado por jmd el 28 de Abril de 2012 - 07:23.

 

Como se ve en la ilustración se han jugado seis fichas de dominó. De acuerdo a las reglas del juego, se une 4 con 4, 1 con 1, y así sucesivamente. Para el caso de la figura, la suma de los puntos de cada ficha son 4, 5, 6, 7, 8, 9 y están en progresión aritmética, es decir, los números tomados en orden tienen una diferencia común, en este caso particular el 1.

¿De cuántos modos podemos jugar seis fichas de dominó, tomadas de una caja común de veintiocho, para que los números queden en progresión aritmética?

Problema

Años superolímpicos

Enviado por jmd el 28 de Abril de 2012 - 07:19.

Cuando la edición $N$ de la ONMAS se realiza en un año divisible entre $N$, diremos que es un año superolímpico. Por ejemplo el año 2005 es superolímpico porque se realiza la edición 5 de la ONMAS y 2005 es divisible entre 5. Determina todos los años superolímpicos, sabiendo que la ONMAS se realiza anualmente a partir de 2001 y suponiendo que se seguirá realizando cada año.

 

Problema

Triángulos en una circunferencia

Enviado por jmd el 28 de Abril de 2012 - 07:17.

 

Sean $AB$ es el diámetro de una circunferencia con centro en el punto $D$, y $C$ un punto en $AB$ de tal manera que $AC$ es la mitad de $CB$. Por el punto $C$ se traza una perpendicular a $AB$ que corta a la circunferencia en los puntos $E$ y $F$. Si el área del triángulo $ABE$ es de $60 cm^2$ ¿cuánto vale el área del triángulo $DEF$?

 

Problema

EGMO Problema 2 - Máxima cantidad de renglones en una tabla

Enviado por jesus el 25 de Abril de 2012 - 16:41.

Sea $n$ un entero positivo, encuentra el entero más grande $m$, en términos de $n$ con la siguiente propiedad:

Una tabla con m renglones y n columnas puede ser llenada con números reales de tal manera que dos diferentes renglones,  $[a_1, a_2, \dots , a_n]$ and $[b_1, b_2, \ldots, b_n]$ satisfacen que $$\max(|a_1 − b_1|, |a_2 − b_2|,\dots , |a_n − b_n|) = 1.$$

©Traducido de la versión en ingles por Matetam.com

Problema

EGMO Problema 1 - Sobre dos circuncentros y demostrar que una línea es perpendicular

Enviado por jesus el 25 de Abril de 2012 - 13:14.

Sea ABC un triángulo con circuncentro O. Los puntos D, E y F se encuntran en el interio de los lados BC, CA y AB respectivamente, de tal manera que DE es perpendicular a CO y DF such that DE is perpendicular to CO and DF is perpendicular to BO. (Por punto interior nos referimos, por ejemplo, a que el punto D se encuentra sobre la línea BC y D está entre B y C en esa línea)

Consideremos K el circuncentro del triángulo AFE. Desmuestra que las líneas DK y BC son perpendiculares.

©Traducido de la versión en ingles para Matetam.com

Problema

Numeros aluxes

Enviado por cuauhtemoc el 15 de Marzo de 2012 - 17:39.

Un entero positivo $n$ es aluxe si el producto de los digitos de $n$ es igual al producto de los digitos de $n+1$. ¿Cuántos enteros aluxes hay menores o iguales a 2011 y mayores o iguales a 1?