Problemas

Esta es nuestra colección de problemas. Los hemos clasificados por tema, dificultad y tipo de concurso. No dudes en escribir comentarios con tus soluciones o con cualquier duda sobre el problema.
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
Problema

Coloreado de pentágono

Enviado por jesus el 28 de Mayo de 2016 - 18:25.

Problema 1. En el pizarrón hay dibujado el siguiente pentágono. Paty tiene dos colores distintos, blanco y negro. ¿Cuántos pentágonos distintos podría obtener usando sus colores, teniendo en cuenta que va a pintar todas las regiones y que dos pentágonos son iguales si uno es resultado que girar el otro como los de la figura?

Problema

Uno sencillo de conteo

Enviado por Paola Ramírez el 7 de Mayo de 2016 - 02:44.

En la siguiente puntícula de $11\times11$ se van a formar triángulos isósceles de  tal manera que su lado desigual esté sobre las líneas rosas. ¿Cuántos triángulos isoósceles se pueden formar?

 

Problema

Escalinata

Enviado por Paola Ramírez el 7 de Mayo de 2016 - 02:02.

Sea $\triangle ABC$ un trinagulo isósceles con $AC=CB, AB=7$ y altura $CD=9$. Los segmentos $a,b,c,d,e,f,g,h$ e $i$ son paralelos a $AB$ y dividen a $CD$ en $9$ segmentos iguales.

Encuentra $a+b+c+d+e+f+i$

Problema

El extraño caso del hexágono azul

Enviado por Paola Ramírez el 7 de Mayo de 2016 - 01:48.

En un cuadrado $ABCD$ de lado $60$. $E,F,G$ y $H$ son puntos medios de $AB,BC;CD$ y $DA$, respectivamente. Encuentra el área del hexágono $IJKLMN$.

Problema

¿Cuántos soluciones serán?

Enviado por Paola Ramírez el 7 de Mayo de 2016 - 01:29.

Encuentra todos los enteros no negativos $a$ y $b$ que satisfacen la ecuación $3\cdot 2^a+1=b^2.$

Problema

Ni primo ni cuadrado

Enviado por German Puga el 28 de Abril de 2016 - 21:34.

Muestra que el número $5n+3$ no es un cuadrado perfecto, con n entero positivo y que si $2n+1$ y $3n+1$ son ambos cuadrados, entonces $5n+3$ no es primo.

Problema

Elemental de álgebra

Enviado por German Puga el 28 de Abril de 2016 - 21:25.

Si $a^2 + a = 2b^2 + b = 50a - 49b$ ¿Cuanto es a+b?

Problema

Expresado como producto de tres

Enviado por German Puga el 27 de Abril de 2016 - 19:56.

Sea $p_1 , p_2 , p_3 \dots$   la sucesión de números primos ordenados de menor a mayor. Si $n \geq 2$, demuestra que $p_n + p_{n+1}$ se puede expresar como el producto de al menos tres enteros mayores que 1 (no necesariamente distintos). 

Problema

La magia de los números primos

Enviado por German Puga el 27 de Abril de 2016 - 18:50.

Sean $a,b,c,d$ enteros positivos que satisfacen $ ab = cd$ . Muestra que $a+b+c+d$ no es un número primo.

Problema

Muchos 1's

Enviado por German Puga el 27 de Abril de 2016 - 18:46.

Muestra que para todo entero positivo n, primo relativo con 10 existen infinidad de múltiplos de n cuyos dígitos son solo unos. 

Problema

Problema de Teoría de Números

Enviado por Alexander Israe... el 26 de Enero de 2016 - 11:26.
Resolver la ecuación $x^{3}=3^{y}7^{z}+8$ para enteros positivos $x, y, z$.
Problema

Problema 6. 29a Olimpiada Mexicana de Matemáticas

Enviado por vmp el 25 de Noviembre de 2015 - 12:57.
Sea $n$ un entero positivo y sean $d_1,d_2, \ldots , d_k$ todos sus divisores positivos ordenados de menor a mayor. Considera el número $$f(n)=(-1)^{d_1}d_1+(-1)^{d_2}d_2+\ldots+(-1)^{d_k}d_k.$$
Por ejemplo, los divisores positivos de 10 son $1,2,5$ y $10$, así que $$f(10)=(-1)^{1}\cdot 1+(-1)^{2}\cdot 2+ (-1)^{5}\cdot 5 +(-1)^{10}\cdot 10=6.$$
Supón que $f(n)$ es una potencia de $2$. Muestra que si $m$ es un entero mayor que $1$, entonces $m^2$ no divide a $n$.
 
Problema

Problema 5. 29a Olimpiada Mexicana de Matemáticas

Enviado por vmp el 25 de Noviembre de 2015 - 12:52.

Sea $I$ el incentro de un triángulo acutángulo $ABC$. La recta $AI$ corta por segunda vez al circuncírculo del triángulo $BIC$ en $E$. Sean $D$ el pie de la altura desde $A$ sobre $BC$ y $J$ la reflexión de $I$ con respecto a $BC$. Muestra que los puntos $D$, $J$ y $E$ son colineales.

 

 

Problema

Problema 4. 29a Olimpiada Mexicana de Matemáticas

Enviado por vmp el 25 de Noviembre de 2015 - 12:47.
Sea $n$ un entero positivo. María escribe en un pizarrón las $n^3$ ternas que se pueden formar tomando tres enteros, no necesariamente distintos, entre $1$ y $n$, incluyéndolos. Después, para cada una de las ternas, María detetermina el mayor (o los mayores, en caso de que haya más de uno) y borra los demás. Por ejemplo, en la terna $(1,3,4)$ borrará los números $1$ y $3$, mientras que en la terna $(1,2,2)$ borrará sólo el número $1$.
 
Muestra que, al terminar este proceso, la cantidad de números que quedan escritos en el pizarrón no puede ser igual al cuadrado de un número entero.
Problema

Problema 3. 29a Olimpiada Mexicana de Matemáticas

Enviado por vmp el 24 de Noviembre de 2015 - 11:23.
Sea $\mathbb{N}=\{1, 2, 3, \ldots \}$ el conjunto de los números enteros positivos. Sea $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ una función, la cual asigna a cada número entero positivo, un número entero positivo. Supón que $f$ satisface las siguientes condiciones:
  1. $f(1)=1$
  2. Para todos $a,b$ enteros positivos, se cumple que
    $$f(a+b+ab)=a+b+f(ab)$$
  3. .
Encuenta el valor de $f(2015)$
Problema

Problema 2. 29a Olimpiada Mexicana de Matemáticas

Enviado por vmp el 24 de Noviembre de 2015 - 11:15.

Sean $n$ un entero positivo y $k$ un entero entre $1$ y $n$. Se tiene un tablero de $n \times n$ color blanco. Se hace el siguiente proceso. Se dibujan $k$ rectángulos con lados de longitud entera, con lados paralelos a los del tablero y tales que su esquina superior derecha coincide con la del tablero. Luego, estos $k$ rectángulos se rellenan de negro. Esto deja una figura blanca en el tablero. ¿Cuántas figuras blancas diferentes podemos obtener, que no se puedan obtener haciendo el proceso con menos de $k$ rectángulos?

Problema

Problema 1. 29a Olimpiada Mexicana de Matemáticas

Enviado por vmp el 24 de Noviembre de 2015 - 11:08.

Sea $ABC$ un triángulo y sea $H$ su ortocentro. Sea $PQ$ un segmento que pasa por $H$ con $P$ en $AB$, $Q$ en $AC$ y tal que $\angle PHB=\angle CHQ$. Finalmente en el ciruncírculo del triángulo $ABC$ considera $M$ el punto medio del arco $BC$ que no contiene a $A$. Muestra que $MP=MQ$.

Problema

Problema 4(C)

Enviado por jmd el 30 de Agosto de 2015 - 08:55.

En una circunferencia se marcan 60 puntos, de los cuales 30 se colorean de rojo, 20 de azul y 10 de verde. La circunferencia queda así dividida en 60 arcos y a cada uno de ellos se les asigna un número de acuerdo a la siguiente regla:

--1 si une un punto rojo con uno verde
--2 si une un punto rojo con uno azul
--3 si une un punto azul con uno verde
--0 si une dos puntos del mismo color

¿Cuál es la mayor suma posible de los números asignados a los arcos? (Justifica tu respuesta.)

Problema

Problema 3(G)

Enviado por jmd el 30 de Agosto de 2015 - 08:52.
Sea $ABC$ un triángulo con $AB\neq{AC}$. Sean $H$ su ortocentro, $O$ su circuncentro y $D$ el punto medio de $BC$. Sea $P$ la intersección de $AO$ y $HD$. Demostrar que los triángulos $AHP$ y $ABC$ tienen el mismo baricentro.
Problema

Problema 2(N)

Enviado por Roberto Alain R... el 29 de Agosto de 2015 - 19:25.

Para un entero positivo n denotamos con S(n) la suma de los dígitos y con U(n) el dígito de las unidades. Determinar todos los enteros positivos n con la propiedad de que n=S(n)+U(n)2  (Nota: Para n=324, S(n)=9 y U(n)=4.)