Problemas

Esta es nuestra colección de problemas. Los hemos clasificados por tema, dificultad y tipo de concurso. No dudes en escribir comentarios con tus soluciones o con cualquier duda sobre el problema.
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
Problema

Números chidos

Enviado por German Puga el 3 de Junio de 2016 - 18:23.

Un número de tres cifras $abc$ es chido si:

  • Todas sus cifras son distintas y mayores a uno.
  • Las fracciones $ \frac{bc}{a}, \frac{ac}{b} $ y $ \frac{ba}{c}$ son enteros.

a) ¿Cuál es el número chido más grande? 

b) ¿Qué números chidos tienen la misma cifra en las centenas que el número encontrado en el inciso anterior?

Problema

El capicúa más cercano

Enviado por German Puga el 3 de Junio de 2016 - 18:16.

Una sucesión de números mayores que 0 comienza  con cualquier número y el siguiente será la resta entre el número anterior  y el número capicúa más cercano que sea menor o igual al número. Por ejemplo $$ 2016 \rightarrow 14 \rightarrow 3 \rightarrow 0$$ Se observa que 14=2016 - 2002 ;  3 = 14 - 11 y  0 = 3 - 3. La sucesión termina cuando se llega a cero, en el ejemplo la sucesión tuvo cuatro términos ¿Cuál es el número más pequeño con el que puede iniciar la sucesión para que tenga exactamente 5 términos?

Problema

Elección de gatos de colores

Enviado por German Puga el 3 de Junio de 2016 - 18:03.

En un barrio hay gatos de colores. Hay 15 rojos, 18 amarillos y 21 azules. En cada grupo de gatos de colores 2/3 son machos. ¿De cuántas maneras puedes tomar dos gatos del mismo color y el mismo sexo?

Problema

Juego de cartas con puntos de ataque

Enviado por jesus el 28 de Mayo de 2016 - 19:36.

En un juego de cartas, cada una tiene un puntaje en defensa y ataque que cumple:

  • Los puntajes son un número entero mayor que 0.
  • Su puntaje en defensa es mayor al ataque.
  • No hay dos cartas con el mismo ataque y la misma defensa.

Una carta A le gana a otra carta B si el ataque de A es mayor a la defensa de B. El poder de la carta es la cantidad de cartas a las que le gana. Tengo una carta cuya suma de puntajes de defensa y ataque es 50, ¿cuál es el máximo poder que podría tener esa carta?

Problema

Caminando en una escalera electríca

Enviado por jesus el 28 de Mayo de 2016 - 19:32.

Una escalera eléctrica tarda 60 segundos en llevar a una persona del primer al segundo piso, la persona caminando tarda 90 segundos en subir esa misma escalera apagada. ¿Cuánto tarda esa persona en subir la escalera caminando y estando prendida?

Problema

La región complemento de dos hexágonos

Enviado por jesus el 28 de Mayo de 2016 - 19:30.

En la siguiente figura tenemos dos hexágonos con sus lados iguales. El paralelogramo tiene área de 2016 u2 , ¿cuál es el área de la región sombreada?

Problema

Capacidad del estadio de futbol

Enviado por jesus el 28 de Mayo de 2016 - 19:27.

Al inicio de un partido de futbol, al estadio estaba al 30% de capacidad, 30 minutos después había 3000 aficionados más que al inicio y al estadio le faltaba un 30% para llenarse, ¿cuál es la capacidad del estadio?

Problema

Coloreado de pentágono

Enviado por jesus el 28 de Mayo de 2016 - 19:25.

Problema 1. En el pizarrón hay dibujado el siguiente pentágono. Paty tiene dos colores distintos, blanco y negro. ¿Cuántos pentágonos distintos podría obtener usando sus colores, teniendo en cuenta que va a pintar todas las regiones y que dos pentágonos son iguales si uno es resultado que girar el otro como los de la figura?

Problema

Uno sencillo de conteo

Enviado por Paola Ramírez el 7 de Mayo de 2016 - 03:44.

En la siguiente puntícula de $11\times11$ se van a formar triángulos isósceles de  tal manera que su lado desigual esté sobre las líneas rosas. ¿Cuántos triángulos isoósceles se pueden formar?

 

Problema

Escalinata

Enviado por Paola Ramírez el 7 de Mayo de 2016 - 03:02.

Sea $\triangle ABC$ un trinagulo isósceles con $AC=CB, AB=7$ y altura $CD=9$. Los segmentos $a,b,c,d,e,f,g,h$ e $i$ son paralelos a $AB$ y dividen a $CD$ en $9$ segmentos iguales.

Encuentra $a+b+c+d+e+f+i$

Problema

El extraño caso del hexágono azul

Enviado por Paola Ramírez el 7 de Mayo de 2016 - 02:48.

En un cuadrado $ABCD$ de lado $60$. $E,F,G$ y $H$ son puntos medios de $AB,BC;CD$ y $DA$, respectivamente. Encuentra el área del hexágono $IJKLMN$.

Problema

¿Cuántos soluciones serán?

Enviado por Paola Ramírez el 7 de Mayo de 2016 - 02:29.

Encuentra todos los enteros no negativos $a$ y $b$ que satisfacen la ecuación $3\cdot 2^a+1=b^2.$

Problema

Ni primo ni cuadrado

Enviado por German Puga el 28 de Abril de 2016 - 22:34.

Muestra que el número $5n+3$ no es un cuadrado perfecto, con n entero positivo y que si $2n+1$ y $3n+1$ son ambos cuadrados, entonces $5n+3$ no es primo.

Problema

Elemental de álgebra

Enviado por German Puga el 28 de Abril de 2016 - 22:25.

Si $a^2 + a = 2b^2 + b = 50a - 49b$ ¿Cuanto es a+b?

Problema

Expresado como producto de tres

Enviado por German Puga el 27 de Abril de 2016 - 20:56.

Sea $p_1 , p_2 , p_3 \dots$   la sucesión de números primos ordenados de menor a mayor. Si $n \geq 2$, demuestra que $p_n + p_{n+1}$ se puede expresar como el producto de al menos tres enteros mayores que 1 (no necesariamente distintos). 

Problema

La magia de los números primos

Enviado por German Puga el 27 de Abril de 2016 - 19:50.

Sean $a,b,c,d$ enteros positivos que satisfacen $ ab = cd$ . Muestra que $a+b+c+d$ no es un número primo.

Problema

Muchos 1's

Enviado por German Puga el 27 de Abril de 2016 - 19:46.

Muestra que para todo entero positivo n, primo relativo con 10 existen infinidad de múltiplos de n cuyos dígitos son solo unos. 

Problema

Problema de Teoría de Números

Enviado por Alexander Israe... el 26 de Enero de 2016 - 12:26.
Resolver la ecuación $x^{3}=3^{y}7^{z}+8$ para enteros positivos $x, y, z$.
Problema

Problema 6. 29a Olimpiada Mexicana de Matemáticas

Enviado por vmp el 25 de Noviembre de 2015 - 13:57.
Sea $n$ un entero positivo y sean $d_1,d_2, \ldots , d_k$ todos sus divisores positivos ordenados de menor a mayor. Considera el número $$f(n)=(-1)^{d_1}d_1+(-1)^{d_2}d_2+\ldots+(-1)^{d_k}d_k.$$
Por ejemplo, los divisores positivos de 10 son $1,2,5$ y $10$, así que $$f(10)=(-1)^{1}\cdot 1+(-1)^{2}\cdot 2+ (-1)^{5}\cdot 5 +(-1)^{10}\cdot 10=6.$$
Supón que $f(n)$ es una potencia de $2$. Muestra que si $m$ es un entero mayor que $1$, entonces $m^2$ no divide a $n$.
 
Problema

Problema 5. 29a Olimpiada Mexicana de Matemáticas

Enviado por vmp el 25 de Noviembre de 2015 - 13:52.

Sea $I$ el incentro de un triángulo acutángulo $ABC$. La recta $AI$ corta por segunda vez al circuncírculo del triángulo $BIC$ en $E$. Sean $D$ el pie de la altura desde $A$ sobre $BC$ y $J$ la reflexión de $I$ con respecto a $BC$. Muestra que los puntos $D$, $J$ y $E$ son colineales.