Problemas
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
L1.P5 (Encontrar ángulo con isósceles)
En un triángulo $ ABC $ los lados $ AC $ y $ BC $ son iguales. Un punto $D$ en el lado $ BC $ es tal que los triángulos $ABD$ y $ACD$ son isósceles. Si $AD=AB$ ¿cuánto mide el ángulo en $B$?
L1.P4 (Fracciones a/b menores que 1)
Si $a, b$ son dígitos (elementos del conjunto $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$), encontrar el número de fracciones $a/b$ menores que 1.
L1.P3 (Menor entero que no divide a 69!)
Para un entero positivo $ n $, el factorial de $ n $ (denotado con $n!$) es $n!=(n)(n-1)(n-2)...(3)(2)(1)$. Encontrar el menor entero positivo (distinto de 1) que no divide a 69!
L1.P2 (Lado de un cuadrado)
En un círculo de centro $O$ y radio $5k$, se traza un cuadrado. Uno de sus lados es cuerda de la circunferencia y el lado opuesto a la cuerda pasa por el centro $O$. Calcular la longitud del lado del cuadrado en términos de $k$.
Lista1.Problema1 (Residuo de 155/n)
El residuo que deja 80 al dividir entre un número entero positivo $ n $ es 4 ¿Cuál es residuo que deja 155 al dividirlo entre $ n $?
Problema 5 TZALOA
Sean H,O el ortocentro y circuncentro del triangulo ABC con AB distinto de AC. Sea T la circunferencia circunscrita al triangulo ABC. La prolongacion de la mediana AM del triangulo ABC, corta a T en el punto N y la circunferencia de diametro AM corta a T en los puntos A y P. Demuestra que las rectas AP, BC y OH son concurrentes si y solo si AH=NH
Problema 6(C)
¿Cuántas ordenaciones (permutaciones) de las letras $A,B,C,D,E,F,G$ no contienen los subórdenes $BGE$ ni $EAF$? Ejemplo: $ABCDEFG$ no contiene ninguno, pero $CBGEAFD$ tiene los dos.
Problema de Cíclicos (mi primera invención)
Sea $ ABC $ un triángulo con incentro $I$ y $AB$ menor que $AC$. Sean $D,E,F$ los puntos de tangencia del incírculo con los lados $BC,CA, AB$, respectivamente. Sean $ H $ la intersección de $BI$ con $EF$, y $G$ la intersección de $CI$ con $EF.$
a) Demostrar que $I$ es el incentro del triángulo $DGH.$
b) Demostrar que las rectas $BG$ y $CH$ concurren sobre la perpendicular a $ BC $ que pasa por $D.$
Problema 8(G)
En un triángulo $ ABC $, el ángulo $ A $ mide el doble que el $ C $. Se traza la mediana $BD$ al lado $CA$ ($D$ es punto medio de $ CA $). Si el ángulo $ DBC $ es igual al ángulo en $ A $, calcular las medidas de los ángulos del triángulo $ ABC $.
Blanchet Theorem
En un triangulo $ABC $ donde $AD$ es la altura ($D$ sobre $ BC$)sea $P$ cualquier punto sobre $AD$, Y sean $E,F$las intercecciones de $BP,CP$ con $AC,AB$ respectivamente. Entonces se cumple que $AD$ es la bisectriz del angulo $EDF$
The Eyeball Theorem
Sean $C_1$ y $C_2$ dos circunferencias de centros $A,B$, respectivamente. Desde $A$ se trazan las tangentes a $AR,AS$ con $R,S$ los puntos de tangencia, ademas estas rectas cortan a $C_1$ en $C,D$. De la misma forma se trazan las tangentes $BP,BQ$ a $C_1$ con $P,Q$ los puntos de tangencia, estas mismas cortan a $C_2$ en $E,F$, respectivamente. Entonces $EF=CD$
Problema 3(C)
Demostrar que en veinte números naturales hay al menos dos cuya diferencia es un múltiplo de 19.
Problema 7(A)
Una cuadrilla de jardineros recortó el pasto de dos prados, uno de doble área que el otro. Durante media jornada toda la cuadrilla trabajó en el prado grande; después de la comida, la mitad trabajó en el prado grande y la otra en el pequeño.
Problema 4(G)
Sea ABCD un trapecio con AB parelelo a CD y S la interseccion de sus diagonales. Demostrar: a)ASD y BSC tienen la misma area. b) S es punto medio del segmento paralelo a las bases, que pasa por S y con extremos en los lados del trapecio.
Problema 2(A)
Un equipo de pasteleros está compuesto por el viejo panadero y 9 estudiantes. Un cierto día el viejo panadero horneó 9 pasteles más que el promedio de todo el equipo (incluyéndolo a él). Si se sabe que ese día cada estudiante horneó 15 pasteles ¿cuántos pasteles fueron horneados por todo el equipo?
Problema 1(N)
El numero de la suerte del delegado es de tres y tiene la propiedad de que al restarle 7 el resultado es divisible entre 7, al restarle 8 el resultado es divisible entre 8 y al restarle 9 el resultado es divisible entre 9. ¿Cual es el numero de la suerte del delagado?
Suma cuadrática de 3 dígitos
¿Cuantas ternas de digitos diferentes $(x,y,z)$ es posible formar, de modo que la suma $x^2+y^2+z^2$ sea multiplo de 5? Nota: las ternas $(0,1,3)$ y $(1,0,3)$ son diferentes.
Artificio de reducción --por combinaciones lineales
¿Para qué valores de $ n $ (entero positivo), los números $n^2+1$ y $(n+1)^2+1$ no son primos relativos?
(2 por 1): Dos trucos, dos problemas --de divisibilidad
a) Calcular el Máximo Común Divisor (MCD) de $4a^2+1$ y $2a-1$, donde $a$ es un entero positivo cualquiera.
b) Calcular el residuo de $2009^{2008}$ al dividir entre 9.
Los tenis del chico fresa
El chico fresa tenía 10 pares de zapatos tenis dedicados (para ir al Mall los fines de semana). Se entiende que de marca (Adidas Dragon, Converse, Fila, K-Swiss, Mizuno, New Balance, Nike Executor, Puma Fluxion, Reebok, Vans). En la mudanza de su familia se le perdieron 6 zapatos.