Problemas
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
Subconjuntos sin divisores
Del conjunto $A=\{1,2,\ldots,2n\}$ se eligen elementos y se forma un subconjunto $S$ de $A$. Si resulta que ninguno de los elementos de $S$ tiene múltiplos en $S$ ¿cuál es el máximo número de elementos de $S$?
Subconjuntos sin consecutivos
¿De cuántas formas se puede elegir un subconjunto de tamaño 3 y sin elementos consecutivos del conjunto $\{1,2,\ldots,20\}$?
Torneo de tenis
En un torneo de tenis de eliminación simple todos los partidos son eliminatorios y no hay empates (si el número de participantes no es potencia de 2 se organiza una eliminatoria bye). ¿Cuántos partidos se juegan?
No divisibilidad
Demostrar que no existen $a$ y $b$ >2, enteros positivos, para los cuales: $2^b-1$ divide $2^a+1$
Maratón
Ximena y Yadira participan en un maratón: el recorrido es del punto $A$ al $B$ y de regreso de $B$ a $A$. La distancia entre $A$ y $B$ es de $p^2qr$ km, con $p,q,r$ primos en orden creciente.
Concurrencia de cuerdas y diagonales de un cuadrilátero circunscrito
Las diagonales de un cuadrilátero circunscrito pasan por el punto de intersección de las cuerdas (que unen los puntos de tangencia en lados opuestos).
Cuerda y diagonal de un cuadrilátero circunscrito
Sea $ ABCD $ un cuadrilátero circunscrito (a una circunferencia, i.e., sus 4 lados son tangentes a la circunferencia), y $ E,F,G,H$ los puntos de tangencia en los lados $ AB, BC, CD, DA, $ respectivamente. Considere la intersección $R$ de una diagonal y una cuerda que une dos puntos opuestos de tangencia, digamos $BD$ y $EG$.
Interrupción de la impudicia --en Cerdeña
Las fotos liberadas en la prensa española develaron el secreto del culto contemporáneo a Vesta. Vesta era la diosa del hogar, y es conocida más por sus sacerdotisas, quienes se encargaban de mantener encendido el fuego sagrado, símbolo de la prosperidad de la antigua Roma.
Trapecio circunscrito
Un trapecio $ABCD$, con $AB$ paralela a $CD$, está circunscrito a una circunferencia (los 4 lados del trapecio son tangentes a la circunferencia) con centro $O.$ Sean $M, N, P, Q$ los puntos de tangencia de la circunferencia con los lados $AB, BC, CD, DA,$ respectivamente. Demuestra que $AQ\cdot QD = BN\cdot NC.$
El 3 de Regiones
Sea $ ABC $ un triángulo rectángulo en $A$. La circunferencia con diámetro $AB$ corta a $ BC $ en $D$, y la circunferencia que pasa por $A, D,$ y el punto medio $O$ de $AB,$ corta a $CA$ en $P$ y corta nuevamente a $ BC $ en $Q$. Demuestra que $PQOA$ es un rectángulo.
Domingo Siete y los tazos de Pokemon
Dominguito Siete se reune cada domingo con sus amigos y lleva tazos de Pokemon. Cuando el número de tazos es múltiplo de 7, los reparte a partes iguales entre sus 6 amigos y él.
2k malitos
La PGR detuvo a $2k$ presuntos malitos para interrogarlos: $k$ policías y $k$ funcionarios.
Palabras alienígenas
a) ¿Cuántas palabras de 6 letras se pueden formar con el alfabeto $\{A,E,L,R,T\}$?
b) ¿Cuántas se pueden formar si inician y terminan en consonante $(L,R,T)$?
c) ¿Y si además contienen las dos vocales $A,E$ pero en posiciones no adyacentes?
Palabras en un alfabeto
¿Cuántos números de 5 dígitos tienen todos sus dígitos de la misma paridad y ninguno de sus dígitos es el cero? Nota: se dice que dos números son de la misma paridad si ambos son pares o ambos son impares.
Regiones 2009, problema 1
¿De cuántas formas se pueden colocar los números $0,1,2,3,4,5,6$, uno en cada casilla del siguiente panal, sin que haya 2 múltiplos de 3 en casillas adyacentes (i.e., con un lado en común)?
El fácil del Regiones 2009
¿Cuántos números $abcd$ de 4 dígitos distintos, múltiplos de 36 y menores que 4000 son tales que el producto de $ab$ por $cd$ es múltiplo de 7?
Diofantina condicionada
Encontrar todos las parejas de enteros positivos $(x, y)$ que sean solución de la ecuación diofantina $20x+9y=2009$, y que además sean cuadrados perfectos consecutivos. Nota: $(x,y)=(100,1)$ y $(x,y)=(1,221)$ son soluciones de la ecuación diofantina pero no cumplen la condición.
Propiedades del máximo común divisor
Demostrar las siguientes propiedades del máximo común divisor de dos números $a$ y $b.$ Nota: hay dos formas usuales de notación para el máximo común divisor, MCD$(a,b)$ o simplemente $(a,b)$.
Trivial --pero no para el novicio
Demostrar que $n^2-1$ es múltiplo de 8 para cualquier $ n $ impar no negativo.
Diofantina en dos variables
Encontrar todas las parejas $(x,y)$ de enteros que satisfacen la ecuación diofantina $x^3+y^3=4(x^2y+xy^2)+1.$