Problemas

Esta es nuestra colección de problemas. Los hemos clasificados por tema, dificultad y tipo de concurso. No dudes en escribir comentarios con tus soluciones o con cualquier duda sobre el problema.
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
Problema

Las retas de ajedrez

Enviado por jesus el 6 de Noviembre de 2008 - 23:53.

Ana, Beto y Carlos decidieron jugar unas retas de ajedrez: al terminar una partida, el que estaba esperando entraba a jugar contra el ganador. Empezaron las retas con una partida entre Ana y Beto. Al final de varias partidas, Ana acumuló 17 victorias; Beto, 14 y Carlos no contó las suyas.

¿En cuántas partidas se enfrentaron Ana y Beto?

Problema

El multiplo de 2000 más pequeño que es suma de los primeros cuadrados

Enviado por jesus el 18 de Octubre de 2008 - 20:18.

Encuentra el número entero $ n > 0 $ más pequeño que satisface que 2000 divide a

$$ 1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 $$.

Problema

Elige los signos en la suma

Enviado por jesus el 18 de Octubre de 2008 - 20:11.

¿Existirá alguna manera de elegir los símbolos $ + $ y $ - $ para que se satisfaga la igualdad $ \pm 1 \pm 2 \pm \cdots \pm 100 = 13^2 $ ?

Problema

Trisección de un segmento y triángulos equilateros

Enviado por jesus el 18 de Octubre de 2008 - 20:03.

Sea $ ABC $ un triángulo equilatero, $ M $ el punto medio de $ BC $. Considera $ P $ y $ Q $ los dos puntos fuera del triángulo $ ABC $ tales que los triángulos $ BMP $ y $ MQC $ son equilateros. Llamemos $ S $ y $ T $ a los puntos de intersección de $ AP $ y $ AQ $ con el segmento $ BC $ respectivamente. Demuestra que $ S $ y $ T $ trisectan al segmento $ BC $.

Problema

Un ejercicio clásico de potencias

Enviado por jesus el 18 de Octubre de 2008 - 19:53.

En la siguiente figura, desde un vértice del cuadrado está trazada una tangente. El lado del cuadrado mide 1 y la longitud de la tangente es 2. Encuentra el radio de la circunferencia. 

Problema

Cómo rellenar un rectángulo con fichas

Enviado por jesus el 17 de Octubre de 2008 - 19:51.

Para cada par de números naturales $a,b>1$ definamos $P_{a \times b}$ como el polígono que se forma a partir de un rectángulo de $a \times b$ removiendo dos cuadrados de $1 \times 1$ en dos esquinas opuestas . Demuestra que $P_{a \times b}$ se puede cubrir con rectángulitos de $1 \times 2$ sin que se traslapen si y sólo si $ a $ y $ b $ tienen distinta paridad.

Problema

Problema de suma con raices

Enviado por jesus el 17 de Octubre de 2008 - 19:37.

Demuestra la siguiente igualdad

$$ \frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{2007}+\sqrt{2008}} = 2\sqrt{502}-1 $$

Problema

El abuelo y la niña generalizado

Enviado por jmd el 13 de Octubre de 2008 - 12:59.

 Kika tiene $ n $ objetos. Un día llega de la escuela y… ¡Abuelo! ¡Abuelo! Perdí $ x $. Y el abuelo la consuela: piensa en que si hubieses encontrado $ x $, ahora tendrías $ y $ veces los que ahora tienes. Encontrar todas las parejas $(x, n)$ en términos de $ y $, para que el diálogo entre la niña y el abuelo tenga sentido en enteros positivos ($x, y, n$ enteros positivos).

(El problema original dice: perdí 2. Y el abuelo dice: si hubieses encontrado 2 ahora tendrías 5 veces los que ahora tienes.)

Problema

Construir un cuadrado con tres puntos dados

Enviado por jesus el 9 de Octubre de 2008 - 10:11.

Se tienen dados, un vértice V de un cuadrado y dos puntos A y B. Los puntos A y B se encuentran sobre dos lados (o prolongaciones de los lados) del cuadrado antes mencionado. Estos dos lados son precisamente los opuestos al vértice V, es decir, los que no lo contienen.

Usando regla y compás, construye el cuadrado.

Problema sugerido por Hugo Espinosa Pérez 10/Oct/2008 15:07

Problema

En sucesión modular busca el ciclo

Enviado por jmd el 5 de Octubre de 2008 - 06:34.

Considere la sucesión $1, 9, 8, 3, 4, 3, \ldots$ en la cual $a_{n+4}$ es el dígito de la unidades de $a_n + a_{n+3},$ para $ n $ entero positivo. Demuestre que $a_{1985}^2 +a_{1986}^2+ \ldots + a_{2000}^2$ es un múltiplo de $ 2 $.

Problema

¿Cuál es la invariante?

Enviado por jmd el 5 de Octubre de 2008 - 06:16.

En las siguientes cuadriculas, se dice que dos cuadrados son adyacentes, si comparten un lado. Considere la siguiente operación T: se eligen cualesquiera dos números en cuadrados adyacentes y a ambos se les suma el mismo entero. ¿Se puede transformar el tablero de la izquierda en el de la derecha mediante iteraciones de T?.

Problema

Un problema de igualdad de areas

Enviado por jmd el 5 de Octubre de 2008 - 06:11.

Sean $ABCD$ un paralelogramo, $ E $ un punto sobre la recta $AB$, mas allá de $ B $, $ F $ un punto sobre la recta $AD$, mas allá de $ D $, y $ K $ el punto de intersección de las rectas $ED$ y $BF$. Demuestre que los cuadriláteros $ABKD$ y $CEKF$ tienen la misma área.

Problema

suma de divisores

Enviado por jmd el 2 de Octubre de 2008 - 08:54.

Demuestre que hay una infinidad de enteros positivos $ n $ tales que la suma de los divisores positivos del número $2008^n-1$ es divisible entre $ n $.


 

Problema

Un sistema diofantino irracional

Enviado por jmd el 2 de Octubre de 2008 - 08:04.

 Determine todas las parejas $(x,y)$ de enteros positivos, tales que $x+y=a^n$ y $x^2+y^2=a^m$ para algunos enteros positivos $a, m, n.$


 

Problema

Máscaras de ángeles y de diablos

Enviado por jesus el 29 de Septiembre de 2008 - 19:50.

 

 

Este problema podría tener mal los datos. Hay que revisarlo

 

 

Se han colocado cuatro estudiantes en las esquinas de un cuarto. Se le ha colocado una máscara a cada uno. Cada estudiante es capáz de ver la máscara de los otros tres escépto la propia. Se les ha comento a los estudiantes que las mascaras que les pusieron provienen de un costal que sólo cuenta de 7 máscaras; 4 de ángeles y 3 de diablos.

Problema

Linea media bisectriz y cuerda

Enviado por jmd el 29 de Septiembre de 2008 - 06:55.

La cuerda del incírculo del triángulo ABC, definida por los puntos de tangencia P y Q en los lados b y c respectivamente, concurre con la línea media de los lados a y b y la bisectriz del ángulo B.

Problema

metodo chino del resto y ptf

Enviado por jmd el 14 de Septiembre de 2008 - 20:09.

Sea $f(n)=5n^{13}+13n^5+9an$. Encontrar el mínimo entero positivo$ a $ para el cual $f(n)$ es divisible entre $65$ para cada entero $ n $.

Problema

Menelao en monterrey 97

Enviado por jmd el 12 de Septiembre de 2008 - 21:40.

En un triángulo ABC, P y P' son dos puntos sobre el lado BC, Q sobre CA y R sobre AB, de tal manera que AR/RB = BP/PC = CQ/QA = CP'/P'B. Sea G el centroide del triángulo ABC y K el punto de intersección de AP' con RQ. Demostrar que P, G y K son colineales.

Problema

Método del residuo chino

Enviado por jmd el 11 de Septiembre de 2008 - 05:51.

Una compañía de n soldados es tal que:

– n es un número capicúa. (Se lee igual al derecho y al revés. Ejemplo:15651, 9436349.) – Si los soldados se forman de 3 en 3, quedan 2 soldados en la última fila; de 4 en 4, quedan 3 soldados en la última fila; de 5 en 5, quedan 5 soldados en la última fila.

Hallar el menor n que cumple las condiciones y demostrar que hay una infinidad de valores n que las satisfacen.

Problema

Dos segmentos iguales

Enviado por sadhi el 4 de Septiembre de 2008 - 18:18.

Se tiene un triángulo agudo; en el cual existen dos círculos con diámetros AB y BC. Sean los puntos E y F donde cortan dichos círculos al otro respectivo lado. Se construyen las rectas AE y CF y los puntos P y Q donde ellas cortan a los círculos

Demostrar que BQ = BP