Problemas
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
Las retas de ajedrez
Ana, Beto y Carlos decidieron jugar unas retas de ajedrez: al terminar una partida, el que estaba esperando entraba a jugar contra el ganador. Empezaron las retas con una partida entre Ana y Beto. Al final de varias partidas, Ana acumuló 17 victorias; Beto, 14 y Carlos no contó las suyas.
¿En cuántas partidas se enfrentaron Ana y Beto?
El multiplo de 2000 más pequeño que es suma de los primeros cuadrados
Encuentra el número entero $ n > 0 $ más pequeño que satisface que 2000 divide a
$$ 1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 $$.
Elige los signos en la suma
¿Existirá alguna manera de elegir los símbolos $ + $ y $ - $ para que se satisfaga la igualdad $ \pm 1 \pm 2 \pm \cdots \pm 100 = 13^2 $ ?
Trisección de un segmento y triángulos equilateros
Sea $ ABC $ un triángulo equilatero, $ M $ el punto medio de $ BC $. Considera $ P $ y $ Q $ los dos puntos fuera del triángulo $ ABC $ tales que los triángulos $ BMP $ y $ MQC $ son equilateros. Llamemos $ S $ y $ T $ a los puntos de intersección de $ AP $ y $ AQ $ con el segmento $ BC $ respectivamente. Demuestra que $ S $ y $ T $ trisectan al segmento $ BC $.
Un ejercicio clásico de potencias
En la siguiente figura, desde un vértice del cuadrado está trazada una tangente. El lado del cuadrado mide 1 y la longitud de la tangente es 2. Encuentra el radio de la circunferencia.
Cómo rellenar un rectángulo con fichas
Para cada par de números naturales $a,b>1$ definamos $P_{a \times b}$ como el polígono que se forma a partir de un rectángulo de $a \times b$ removiendo dos cuadrados de $1 \times 1$ en dos esquinas opuestas . Demuestra que $P_{a \times b}$ se puede cubrir con rectángulitos de $1 \times 2$ sin que se traslapen si y sólo si $ a $ y $ b $ tienen distinta paridad.
Problema de suma con raices
Demuestra la siguiente igualdad
$$ \frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{2007}+\sqrt{2008}} = 2\sqrt{502}-1 $$
El abuelo y la niña generalizado
Kika tiene $ n $ objetos. Un día llega de la escuela y… ¡Abuelo! ¡Abuelo! Perdí $ x $. Y el abuelo la consuela: piensa en que si hubieses encontrado $ x $, ahora tendrías $ y $ veces los que ahora tienes. Encontrar todas las parejas $(x, n)$ en términos de $ y $, para que el diálogo entre la niña y el abuelo tenga sentido en enteros positivos ($x, y, n$ enteros positivos).
(El problema original dice: perdí 2. Y el abuelo dice: si hubieses encontrado 2 ahora tendrías 5 veces los que ahora tienes.)
Construir un cuadrado con tres puntos dados
Se tienen dados, un vértice V de un cuadrado y dos puntos A y B. Los puntos A y B se encuentran sobre dos lados (o prolongaciones de los lados) del cuadrado antes mencionado. Estos dos lados son precisamente los opuestos al vértice V, es decir, los que no lo contienen.
Usando regla y compás, construye el cuadrado.
— Problema sugerido por Hugo Espinosa Pérez 10/Oct/2008 15:07
En sucesión modular busca el ciclo
Considere la sucesión $1, 9, 8, 3, 4, 3, \ldots$ en la cual $a_{n+4}$ es el dígito de la unidades de $a_n + a_{n+3},$ para $ n $ entero positivo. Demuestre que $a_{1985}^2 +a_{1986}^2+ \ldots + a_{2000}^2$ es un múltiplo de $ 2 $.
¿Cuál es la invariante?
En las siguientes cuadriculas, se dice que dos cuadrados son adyacentes, si comparten un lado. Considere la siguiente operación T: se eligen cualesquiera dos números en cuadrados adyacentes y a ambos se les suma el mismo entero. ¿Se puede transformar el tablero de la izquierda en el de la derecha mediante iteraciones de T?.
Un problema de igualdad de areas
Sean $ABCD$ un paralelogramo, $ E $ un punto sobre la recta $AB$, mas allá de $ B $, $ F $ un punto sobre la recta $AD$, mas allá de $ D $, y $ K $ el punto de intersección de las rectas $ED$ y $BF$. Demuestre que los cuadriláteros $ABKD$ y $CEKF$ tienen la misma área.
suma de divisores
Demuestre que hay una infinidad de enteros positivos $ n $ tales que la suma de los divisores positivos del número $2008^n-1$ es divisible entre $ n $.
Un sistema diofantino irracional
Determine todas las parejas $(x,y)$ de enteros positivos, tales que $x+y=a^n$ y $x^2+y^2=a^m$ para algunos enteros positivos $a, m, n.$
Máscaras de ángeles y de diablos
Se han colocado cuatro estudiantes en las esquinas de un cuarto. Se le ha colocado una máscara a cada uno. Cada estudiante es capáz de ver la máscara de los otros tres escépto la propia. Se les ha comento a los estudiantes que las mascaras que les pusieron provienen de un costal que sólo cuenta de 7 máscaras; 4 de ángeles y 3 de diablos.
Linea media bisectriz y cuerda
La cuerda del incírculo del triángulo ABC, definida por los puntos de tangencia P y Q en los lados b y c respectivamente, concurre con la línea media de los lados a y b y la bisectriz del ángulo B.
metodo chino del resto y ptf
Sea $f(n)=5n^{13}+13n^5+9an$. Encontrar el mínimo entero positivo$ a $ para el cual $f(n)$ es divisible entre $65$ para cada entero $ n $.
Menelao en monterrey 97
En un triángulo ABC, P y P' son dos puntos sobre el lado BC, Q sobre CA y R sobre AB, de tal manera que AR/RB = BP/PC = CQ/QA = CP'/P'B. Sea G el centroide del triángulo ABC y K el punto de intersección de AP' con RQ. Demostrar que P, G y K son colineales.
Método del residuo chino
Una compañía de n soldados es tal que:
– n es un número capicúa. (Se lee igual al derecho y al revés. Ejemplo:15651, 9436349.) – Si los soldados se forman de 3 en 3, quedan 2 soldados en la última fila; de 4 en 4, quedan 3 soldados en la última fila; de 5 en 5, quedan 5 soldados en la última fila.
Hallar el menor n que cumple las condiciones y demostrar que hay una infinidad de valores n que las satisfacen.
Dos segmentos iguales
Se tiene un triángulo agudo; en el cual existen dos círculos con diámetros AB y BC. Sean los puntos E y F donde cortan dichos círculos al otro respectivo lado. Se construyen las rectas AE y CF y los puntos P y Q donde ellas cortan a los círculos
Demostrar que BQ = BP