Problemas

Esta es nuestra colección de problemas. Los hemos clasificados por tema, dificultad y tipo de concurso. No dudes en escribir comentarios con tus soluciones o con cualquier duda sobre el problema.
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
Problema

IMO 2004, problema 2

Enviado por jesus el 1 de Enero de 2008 - 00:00.

Encuentre todos los polinomios $P(x)$ tales que

$$P(a-b)+P(b-c)+P(c-a)=2P(a+b+c)$$

para todo $a, b, c$ reales que satisfacen que $ab+bc+ca=0$.

Problema

Método "Busca donde hay luz"

Enviado por jmd el 1 de Enero de 2008 - 00:00.

Encontrar todas las tripletas de enteros (a,b,c) tales que el producto de dos de ellos más el tercero sea la unidad (o sea el 1).

Problema

Problema 1, OMM 2005

Enviado por jmd el 1 de Enero de 2008 - 00:00.

Sea $O$ el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo $ABC$, y $P$ un punto cualquiera del segmento $BC$ ($P$ no es ni $B$ ni $C$). La circunferencia circunscrita al triángulo $BPO$ corta en $R$ al segmento $AB$ ($R$ no es $A$ ni es $B$), y la circunferencia circunscrita al triángulo $COP$ corta en $Q$ al segmento $CA$ ($Q$ no es $C$ ni es $A$).

i)Demostrar que el triángulo $PQR$ es semejante al $ABC$ y que $O$ es ortocentro de $PQR$.

ii)Demuestrar que las circunferencias circunscritas a los triángulos $BPO$, $COP$ y $PQR$ son todas del mismo tamaño.

Problema

QUINTO EXAMEN SELECTIVO

Enviado por jmd el 1 de Enero de 2008 - 00:00.

Problema 1 Dado un triángulo acutángulo ABC se trazan las circunferencias c1 de diámetro AB y c2 de diámetro BC y se ubican las intersecciones M y N y P y Q de las alturas CC’ y BB’ (vistas como rectas) con c1 y c2, respectivamente. Demostrar que los puntos M, N, P y Q pertenecen a una misma circunferencia.

Problema

Soluciones de una cuadrática

Enviado por jesus el 1 de Enero de 2008 - 00:00.

Sean $x_1$ y $x_2$ dos soluciones distintas de la ecuación cuadrática:

$Ax^2+Bx+C=0$

Demuestra que $$ (x_1-x_2)^2 = \frac{(B/2)^2 -AC}{A^2} $$

Problema

subconjuntos con elemento común

Enviado por jmd el 1 de Enero de 2008 - 00:00.

Dado el conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, demostrar que no tiene ninguna colección de subconjuntos tal que cada par de ellos tienga un elemento común.

Problema

subsucesiones

Enviado por jmd el 1 de Enero de 2008 - 00:00.

Una sucesión de n^2+1 números reales distintos es dada. Demostrar que existe una subsucesión de n+1 números que es ya sea estrictamente creciente, o estrictamente decreciente.

Problema

Tablero y fichas de dominó

Enviado por jmd el 1 de Enero de 2008 - 00:00.

¿Se podrá llenar de fichas de dominó el tablero de ajedrez sin cubrir dos casillas en esquinas opuestas?

Nota. Las fichas de dominó cubren exactamente dos casillas del tablero.

Problema

Teorema de Pitágoras

Enviado por jmd el 1 de Enero de 2008 - 00:00.

Un triángulo de lados $a, b, c$, con $c > a, b$ es triángulo rectángulo sí y sólo si $c^2 = a^2 + b^2$.

Problema

Tesoro Pirata Disfrazado

Enviado por jmd el 1 de Enero de 2008 - 00:00.

El problema del tesoro pirata puede ser planteado de la siguiente manera. Sean dados los triángulos MPX y MRY, ambos isósceles y rectángulos en P y R respectivamente. Demostrar que la mediatriz del segmento PR pasa por el punto medio de XY.

Problema

Triángulo rectángulo -enunciado

Enviado por jmd el 1 de Enero de 2008 - 00:00.

Considere un triángulo rectángulo con longitudes a, b y c, la hipotenusa es de longitud c, sea r la longitud del radio de la circunferencia inscrita en el triángulo. Demuestre que r es igual a la mitad de a+b-c.

Problema

un problema de digitos y divisibilidad

Enviado por jmd el 1 de Enero de 2008 - 00:00.

Encontrar todos los números de cuatro cifras $abcd_{10}$ divisibles entre 13 y tales que $cd =3(ac+2)$

 

Problema

Una sucesión no acotada

Enviado por jesus el 13 de Noviembre de 2007 - 00:00.

Considere la sucesión $a_0, a_1, a_2,\dots $ de enteros construida como sigue:

 

 

  1. $ a_0 > 5 $ es impar,
  2. $ a_{n+1} = a_n/2 $ si $ a_n $ es par,
  3. y $a_{n+1} ={a_n}^2-5$ si $ a_n $ es impar.

Demostrar que la sucesión es no acotada.

Problema

USAMTS (Problema 5)

Enviado por jmd el 6 de Septiembre de 2007 - 00:00.

Sea c un número real. La sucesión $a_1,a_2, a_3,\dots$ está definida por $a_1=c$ y $a_n = 2a_{n-1}^2 -1$ , para todo $n \geq 2$ . Encontrar todos los valores de para los cuales $a_n <0$ para toda n.

Problema

Triángulo Rectángulo 2

Enviado por jmd el 3 de Agosto de 2007 - 08:47.

Sea ABC un triángulo rectángulo con ángulo recto en C, denotemos con R al punto donde la circunferencia inscrita es tangente al lado BC. Pruebese que $ AR \cdot RB $ es igual al área de ABC.

Problema

Retroducción en un problema de números

Enviado por jmd el 27 de Abril de 2007 - 23:57.

Al estudiante A se le da a conocer un número a y la información de que a es el producto xy de dos enteros positivos. Al estudiante B se le da a conocer un número b y la información de que es la suma x+y de los mismos números cuyo producto es el número dado a A. Además, a ambos se les hace saber que x, y son números enteros mayores que 1 y su suma es menor que 100. Después de que los estudiantes obtienen esta información (y después de haberla meditado un rato) tiene lugar el siguiente diálogo: