Problemas

Esta es nuestra colección de problemas. Los hemos clasificados por tema, dificultad y tipo de concurso. No dudes en escribir comentarios con tus soluciones o con cualquier duda sobre el problema.
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Problema

Problema 7

Encuentra los valores de $a$ y $b$ enteros positivos en los que se cumpla que $a/5 + b/7 = 31/35$

 
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Problema 6

180 multiplicado por un entero positivo $N$ resulta en un cubo perfecto (un número elevado al cubo). ¿Cuál es el mínimo valor posible de $N$ ?

 
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Problema 5

Ana tiene un número secreto de 6 dígitos con las siguientes características:

  • Clave 1: Es el mismo número al leerlo si se lee de derecha a izquierda.
  • Clave 2: Es múltiplo de 9.
  • Clave 3: Si se eliminan los dígitos extremos (el primero y el último) el número que resulta es múltiplo de 11 y solamente del 11.

¿Cuál es el número secreto de Ana?

 
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Problema 4

Un reloj digital marca las 2 : 35. Ésta es la primera vez después de la medianoche en que los tres dígitos mostrados son números primos diferentes. ¿Cuál es la última vez antes del mediodía en que los tres dígitos en el reloj son números primos diferentes?

 
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Problema 2

Si $a^2 + a$ = $2b^{2} + b = 210$ y $a + b = 24$ ¿cuánto vale $50a - 49b$ ?

 
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Problema 3

Verónica tiene más faldas que blusas y afirma que puede vestirse todos los días de un año normal usando un conjunto falda-blusa sin repetir. Anahí le comenta que si fuera un año bisiesto esto no podría hacerlo. Hallar el número de faldas y blusas que tiene Verónica si se sabe que tiene más de una blusa.

 
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Problema 1

Xavier tiene el mismo número de hermanas que de hermanos. Su hermana Yara tiene el doble de hermanos que de hermanas. ¿Cuántos hermanos y cuántas hermanas hay en esta familia?

 
Problema

Uno de si y solo si, con reflexión

Sea $H$ el ortocentro y $G$ el gravicentro del triángulo acutángulo $\triangle ABC,$ con $ AB \neq AC.$ La linea $AG$ intersecta al circuncirculo de $\triangle ABC$ en $A$ y en $P$. Sea $P'$ la reflexión de $P$ en la línea $BC.$ Demuestra que $\angle CAB = 60°$ si y solo si $HG = GP'.$

 
Problema

Partición en m parejas

Sean m y n enteros positivos con m > 1. Anastasia particiona el conjunto de enteros $1,2,\dots,2m$ en m parejas. Luego Boris escoje un entero de cada pareja y suma los enteros escogidos. Demuestra que Anastasia puede elegir las parejas de manera que Boris no pueda hacer que su suma sea igual a n.

 
Problema

Suma de cualesquiera dos consecutivos, cuadrado

Determina si existe una sucesión infinita $a_1,a_2,\dots$ de enteros positivos que satisface la igualdad $$a_{n+2} = a_{n+1} + \sqrt{a_{n+1} + a_n}$$ para todo entero positivo n.