Problemas

Esta es nuestra colección de problemas. Los hemos clasificados por tema, dificultad y tipo de concurso. No dudes en escribir comentarios con tus soluciones o con cualquier duda sobre el problema.
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
Problema

Ejercicio con progresión aritmética

Enviado por jmd el 13 de Mayo de 2014 - 04:56.

En una progresión aritmética la suma del tercero y el quinto términos es 14 y la suma de los primeros 12 términos es 129. Uno de sus términos es 193 ¿qué posición ocupa en la progresión?

Problema

Residuos de un número y su doble

Enviado por jmd el 13 de Mayo de 2014 - 04:55.

Al dividir un número n entre otro m, el resultado es 3 y sobran 7. Y cuando se divide n entre 2m el cociente es 1 y sobran 15 ¿Cuáles son esos números?

 

Problema

Diagonales y triángulos de un cuadrado

Enviado por jmd el 13 de Mayo de 2014 - 04:54.

En un cuadrado ABCD, las diagonales AC y BD se cruzan en E. Si la diagonal AC mide 12 ¿cuál es el área del triángulo BCE?

Problema

Razonado geométrico

Enviado por jmd el 13 de Mayo de 2014 - 04:53.

Las diagonales de un rectángulo se cruzan en un punto P de tal manera que la distancia al lado más corto es 8 cm mayor que la distancia al lado más largo. Si el perímetro del rectángulo es 88 cm ¿cuál es el área del rectángulo?

Problema

Sin ceros y a lo más un 1

Enviado por jmd el 13 de Mayo de 2014 - 04:51.

¿Cuántos números de dos dígitos no contienen ceros y no más de un 1?

Problema

Páginas de una novela

Enviado por jmd el 13 de Mayo de 2014 - 04:50.

Mientras leía la novela noté que los dígitos de la página que leía sumaban 19, y que los dígitos de la siguiente sumaban 2. ¿Cuál era la página que estaba yo leyendo?

 

Problema

La sala de la doña

Enviado por jmd el 13 de Mayo de 2014 - 04:49.

Doña Oralia va a enmosaicar su sala (de forma cuadrada) y contrata a don Eleno, un mosaiquero de la ciudad, para realizar esa tarea. Después de tomar medidas, don Eleno le dice: "estos 36 mosaicos que usted tiene solamente cubren 4/9 de su sala". Si los mosaicos son de forma cuadrada y miden 30 centímetros de lado ¿cuánto mide de lado la sala de doña Oralia?

Problema

Las tarjetas de Alicia

Enviado por jmd el 13 de Mayo de 2014 - 04:47.
Alicia tenía varias tarjetas ordenadas según una sucesión de números fraccionarios. Pero el viento se las voló y, al reacomodarlas, le faltaron cuatro como se muestra
__, 3/4, 5/4, __, 9/4, 11/4, __, 15/4, __
¿Cuáles son las fracciones faltantes?
 
Problema

Un primo mayor que 3

Enviado por jmd el 11 de Mayo de 2014 - 06:22.

Demostrar que $8p^2+1$ no es primo para ningún primo $p$ mayor que 3. 

Problema

Bisectriz en la mitad de un cuadrado

Enviado por jmd el 11 de Mayo de 2014 - 06:18.

Las diagonales de un cuadrado ABCD se cortan en E, la bisectriz del ángulo DBC corta a la diagonal AC en P y al lado CD en Q. Demostrar que DQ mide el doble que PE.

Problema

Turibús

Enviado por jmd el 11 de Mayo de 2014 - 06:15.

Van a viajar 27 personas en un autobús turístico que puede llevar 12 adentro y 15 afuera (en la parte superior). De las 25 personas, 5 piden ir afuera y 6 piden ir adentro. Si complacemos estas peticiones  ¿de cuántas formas pueden ser distribuidas las personas en el autobús?  (Considere que el orden en que se acomodan en los asientos es irrelevante, solamente importa quienes van adentro y quienes afuera.)

Problema

Un acertijo de Lewis Carroll

Enviado por jmd el 11 de Mayo de 2014 - 06:13.

Un hombre camina durante 5 horas. Primero lo hace a lo largo de un tramo a nivel, después subiendo una loma. Al llegar arriba se regresa y recorre el camino a lo largo de la misma ruta pero de regreso. Caminó a 4 km/h en el camino a nivel, a 3 km/h de subida y a 6 km/h de bajada. Encontrar la distancia que recorrió.

Problema

ONMAPS Tamaulipas 2014 - Problema 10

Enviado por jesus el 28 de Abril de 2014 - 09:11.

En el interior de un triángulo ABC se elige el punto P de tal manera que los ángulos PAC y PBC son iguales. Las perpendiculares desde P a BC y CA cortan estos lados en L y M, respectivamente. Si D es el punto medio de AB, demostrar que DL=DM.

Problema

Naranjas y manzanas

Enviado por jmd el 20 de Febrero de 2014 - 10:52.

Doña Felix vende fruta en el mercado. Un día llevó a vender manzanas y naranjas. La fruta estaba en canastos, los cuales contenían solamente naranjas o solamente manzanas. Las cantidades de fruta en los canastos eran 8,12,15,17,19,22. Después de que vendió un canasto de fruta se dio cuenta de que el número de naranjas era el doble que el de manzanas. ¿Cuántas naranjas y cuántas manzanas le quedaron después de esa venta?

Problema

Números autodescriptivos

Enviado por jmd el 18 de Febrero de 2014 - 11:53.

Un número autodescriptivo es un entero $m$ en el cual cada dígito $d$ en la posición $n$ (=0,1,2,...,9) cuenta las instancias del dígito $n$ en $m$. El número autodescriptivo más pequeño es 1210, pues tiene 1 cero, 2 unos, 1 dos y 0 treses. Encontrar el mayor número autodescriptivo.

Problema

Ostomachion, el cuadrado y sus partes

Enviado por jmd el 9 de Febrero de 2014 - 19:13.

En el cuadrado ABGD, sea E el punto medio de BG por el que levantamos la perpendicular EZ a BG (Z en AD). Trazaos las diagonales AG (del cuadrado) y BZ y ZG (de los rectángulos definidos por EZ en cuadrado). AG y BZ se cortan en F. Por el punto medio H de BE levantamos la perpendicular HT (T en BZ). Por H trazamos el segmento HK (K en BZ) de tal manera que H,K y A estén alineados. Trazamoe el segmento BM con M punto medio de AL. Con esto hemos dividido el rectángulo ABEZ en siete partes.

Problema

51 Puntos en un tablero

Enviado por Gustavo10 el 14 de Enero de 2014 - 20:16.

Hay 51 puntos en el interior de un cuadrado de lado 7. Demostrar que siempre es posible encontrar tres de ellos que se encuentren dentro de una circunferencia de radio 1.

Problema

Te explico lo de convexidad... el resto no creo que le entiendas

Enviado por jmd el 29 de Noviembre de 2013 - 20:12.

Sea $A_1A_2\ldots A_8$ un octágono convexo, es decir, un octágono donde todos sus ángulos internos son menores de $180^{\circ}$. Además los lados del octágono tienen la misma longitud y cada par de lados opuestos son paralelos. Para cada $i=1,\ldots,8$, definamos el punto $B_i$ como la intersección del segmento $A_iA_{i+4}$ con el segmento $A_{i-1}A_{i+1}$, donde  $A_{j+8}=A_j$ y $B_{j+8}=B_j$ para todo número entero $j$. Muestra que para algún número $i$, de entre los números $1,2,3,4$ se cumple

$$\frac{|A_iA_{i+4}|}{|B_iB_{i+4}|}\leq\frac{3}{2}$$

Problema

Parejas especiales

Enviado por jmd el 29 de Noviembre de 2013 - 20:08.

Una pareja de enteros es especial si es de la forma $(n,n-1)$ o de la forma $(n-1,n)$ con $n$ un entero positivo. Muestra que una pareja $(n.m)$ de enteros positivos que no es especial, se puede representar como suma de dos o más parejas especiales diferentes si y sólo si los enteros $n$ y $m$ satisfacen la desigualdad $n+m\geq(n-m)^2$.

Nota: la suma de dos parejas se define como $(a.b)+(c,d)=(a+c,b+d)$

Problema

Un cubo y muchos cubitos

Enviado por jmd el 29 de Noviembre de 2013 - 19:29.

Un cubo de $n \times n \times n$ está construido con cubitos de  $1\times 1 \times 1 $, algunos negros y otros blancos, de manera que en cada uno de los subprismas de $n \times 1 \times 1 $, de $1 \times n \times1 $ y de  $1 \times 1 \times n$ hay exactamente dos cubitos negros y entre ellos hay un número par (posiblemente 0) de cubitos blancos intermedios. Por ejemplo, en la siguiente ilustración, se muestra una posible rebanada de cubo de  $6 \times 6 \times 6 $ (formada por 6 subprismas de $1\times{6}\times{1}$