Problemas

Esta es nuestra colección de problemas. Los hemos clasificados por tema, dificultad y tipo de concurso. No dudes en escribir comentarios con tus soluciones o con cualquier duda sobre el problema.
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
Problema

Naranjas y manzanas

Enviado por jmd el 20 de Febrero de 2014 - 11:52.

Doña Felix vende fruta en el mercado. Un día llevó a vender manzanas y naranjas. La fruta estaba en canastos, los cuales contenían solamente naranjas o solamente manzanas. Las cantidades de fruta en los canastos eran 8,12,15,17,19,22. Después de que vendió un canasto de fruta se dio cuenta de que el número de naranjas era el doble que el de manzanas. ¿Cuántas naranjas y cuántas manzanas le quedaron después de esa venta?

Problema

Números autodescriptivos

Enviado por jmd el 18 de Febrero de 2014 - 12:53.

Un número autodescriptivo es un entero $m$ en el cual cada dígito $d$ en la posición $n$ (=0,1,2,...,9) cuenta las instancias del dígito $n$ en $m$. El número autodescriptivo más pequeño es 1210, pues tiene 1 cero, 2 unos, 1 dos y 0 treses. Encontrar el mayor número autodescriptivo.

Problema

Ostomachion, el cuadrado y sus partes

Enviado por jmd el 9 de Febrero de 2014 - 20:13.

En el cuadrado ABGD, sea E el punto medio de BG por el que levantamos la perpendicular EZ a BG (Z en AD). Trazaos las diagonales AG (del cuadrado) y BZ y ZG (de los rectángulos definidos por EZ en cuadrado). AG y BZ se cortan en F. Por el punto medio H de BE levantamos la perpendicular HT (T en BZ). Por H trazamos el segmento HK (K en BZ) de tal manera que H,K y A estén alineados. Trazamoe el segmento BM con M punto medio de AL. Con esto hemos dividido el rectángulo ABEZ en siete partes.

Problema

51 Puntos en un tablero

Enviado por Gustavo10 el 14 de Enero de 2014 - 21:16.

Hay 51 puntos en el interior de un cuadrado de lado 7. Demostrar que siempre es posible encontrar tres de ellos que se encuentren dentro de una circunferencia de radio 1.

Problema

Te explico lo de convexidad... el resto no creo que le entiendas

Enviado por jmd el 29 de Noviembre de 2013 - 21:12.

Sea $A_1A_2\ldots A_8$ un octágono convexo, es decir, un octágono donde todos sus ángulos internos son menores de $180^{\circ}$. Además los lados del octágono tienen la misma longitud y cada par de lados opuestos son paralelos. Para cada $i=1,\ldots,8$, definamos el punto $B_i$ como la intersección del segmento $A_iA_{i+4}$ con el segmento $A_{i-1}A_{i+1}$, donde  $A_{j+8}=A_j$ y $B_{j+8}=B_j$ para todo número entero $j$. Muestra que para algún número $i$, de entre los números $1,2,3,4$ se cumple

$$\frac{|A_iA_{i+4}|}{|B_iB_{i+4}|}\leq\frac{3}{2}$$

Problema

Parejas especiales

Enviado por jmd el 29 de Noviembre de 2013 - 21:08.

Una pareja de enteros es especial si es de la forma $(n,n-1)$ o de la forma $(n-1,n)$ con $n$ un entero positivo. Muestra que una pareja $(n.m)$ de enteros positivos que no es especial, se puede representar como suma de dos o más parejas especiales diferentes si y sólo si los enteros $n$ y $m$ satisfacen la desigualdad $n+m\geq(n-m)^2$.

Nota: la suma de dos parejas se define como $(a.b)+(c,d)=(a+c,b+d)$

Problema

Un cubo y muchos cubitos

Enviado por jmd el 29 de Noviembre de 2013 - 20:29.

Un cubo de $n \times n \times n$ está construido con cubitos de  $1\times 1 \times 1 $, algunos negros y otros blancos, de manera que en cada uno de los subprismas de $n \times 1 \times 1 $, de $1 \times n \times1 $ y de  $1 \times 1 \times n$ hay exactamente dos cubitos negros y entre ellos hay un número par (posiblemente 0) de cubitos blancos intermedios. Por ejemplo, en la siguiente ilustración, se muestra una posible rebanada de cubo de  $6 \times 6 \times 6 $ (formada por 6 subprismas de $1\times{6}\times{1}$

Problema

Elección con restricción negativa

Enviado por jmd el 25 de Noviembre de 2013 - 22:37.

¿Cuál es la mayor cantidad de elementos que puedes tomar del conjunto de números
enteros $\{1,2, . . . ,2012,2013\}$, de tal manera que entre ellos no haya tres distintos,
digamos $a, b, c$, tales que $a$ sea divisor o múltiplo de $b−c$?
 

Problema

Circunferencia con centro en diagonal de paralelogramo

Enviado por jmd el 25 de Noviembre de 2013 - 22:32.

Sea $ABCD$ un paralelogramo con ángulo obtuso en $A$. Sea $P$ un punto sobre el
segmento $BD$ de manera que la circunferencia con centro en $P$ y que pasa por $A$, corte a la recta $AD$ en $A$ y $Y$ , y corte a la recta $AB$ en $A$ y $X$. La recta $A$P intersecta a $BC$ en $Q$ y a $CD$ en $R$, respectivamente. Muestra que $\angle{XPY} = \angle{XQY} +\angle{XRY}$ .

Problema

¡¿Todas?!

Enviado por jmd el 25 de Noviembre de 2013 - 22:22.

Se escriben los números primos en orden, $p_1 = 2, p_2 = 3, p_3 = 5, \ldots$. Encuentra todas las parejas de números enteros positivos $a$ y $b$ con $a − b \geq 2$, tales que $p_a −p_b$ divide al número entero $2(a−b)$.

Problema

ayuda porfavor urgente geometria analitica

Enviado por dianaremi el 21 de Septiembre de 2013 - 21:20.

¿Quien me ayda con este problema? porfiss

 

.-Dos de los vertices de un tringulo equilatero son los puntos a(-3,1), b(1,1)  hayar las cordenadas del 3er vertice ...

Problema

Problema de álgebra --realmente difícil

Enviado por jmd el 30 de Agosto de 2013 - 18:06.

Calcular la medida de los catetos $a,b$ de un triángulo rectángulo de área 4 e hipotenusa $\sqrt{27}$. 

Problema

Triminios en un tablero de 2013x2013!!!

Enviado por cuauhtemoc el 28 de Agosto de 2013 - 21:10.

En un tablero de 2013 × 2013 se han coloreado k casillas de negro y las demás de blanco, de tal manera que no hay tres casillas negras formando un trimino en ”L”y que al pintar cualquier otra casilla de negro se forma un trimino en ”L” de puras ca

Problema

Relación desfasada de edades

Enviado por jmd el 14 de Julio de 2013 - 09:12.

Beto tiene el doble de la edad que Sandra tenía cuando Beto era de la edad que ahora tiene Sandra. Cuando Sandra tenga la edad que ahora tiene Beto, la suma de sus edades será 45 años. ¿Qué edad tienen?

Problema

Velocidad promedio de un viaje

Enviado por jmd el 12 de Julio de 2013 - 18:04.

Miguel viajó en su auto de la ciudad $P$ a la ciudad $Q$. En la primera hora recorrió 1/3 de la distancia entre las ciudades y en la segunda 1/5. Llegó a su destino después de dos horas más durante las cuales viajó a una velocidad de 42 km/h. Calcular la velocidad promedio de todo el viaje. (Nota: la velocidad promedio se define como distancia/tiempo.)

Problema

Eficiencia ensayística estudiantil

Enviado por jmd el 5 de Julio de 2013 - 18:01.

Abel y Brenda estudian sociología en la universidad. Para elaborar sus ensayos de fin de cursos utilizan el método estándar de copiar (de la Web) y pegar (en su ensayo). Usando Google Drive pueden elaborar juntos (pero cada quien desde su laptop) un ensayo de 48 páginas en 6 horas. Sin embargo, trabajando solo, Abel se tarda 16 horas más que Brenda --para elaborar un ensayo de 48 páginas . ¿Cuánto tarda Brenda para elaborar un ensayo de 48 páginas --usando copy and paste e independientemente de calidad?

Problema

Media y mediana

Enviado por jmd el 2 de Julio de 2013 - 17:16.

Encontrar todos los números reales $x$ con la propiedad de que la mediana de $x,6,4,1,9$ coincide con su media.

Problema

Calcular una proporción

Enviado por jmd el 2 de Julio de 2013 - 17:15.

Un grupo de $n$ alumnos presentó el examen de admisión en una universidad. Si se sabe que pasaron exactamente 2/3 de los varones y exactamente 3/4 de las mujeres, y que el número de mujeres que pasaron es igual al número de varones que pasaron el examen, calcular el porcentaje de alumnos que pasaron el examen.

Problema

Valor de una suma dadas ciertas condiciones

Enviado por jmd el 2 de Julio de 2013 - 17:12.

Los enteros positivos $a,b,c$ satisfacen el sistema
$$c^2-a^2-b^2=101$$
$$ab=72$$
Encontrar el valor de $a+b+c$

Problema

Área del triángulo si...

Enviado por jmd el 2 de Julio de 2013 - 17:10.

Si los enteros positivos $a,b,c$ son los lados de un triángulo rectángulo, y son tales que $a<b<c$ y $a+c=49$. Encontrar el área del triángulo.