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Problema 6 - IMO 2016 - Malfalda silba y las ranas saltan

Se tienen $n \geq 2$ segmentos en el plano tales que cada par de segmentos se intersecan en un punto interior a ambos, y no hay tres segmentos que tengan un punto en común. Mafalda debe elegir uno de los extremos de cada segmento y colocar sobre él una rana mirando hacia el otro extremo. Luego silbará $n -1$ veces. En cada silbido, cada rana saltará inmediatamente hacia adelante hasta el siguiente punto de intersección sobre su segmento. Las ranas nunca cambian las direcciones de sus saltos. Mafalda quiere colocar las ranas de tal forma que nunca dos de ellas ocupen al mismo tiempo el mismo punto de intersección.

 
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Problema 5 - IMO 2016 - Quita términos lineales de ambos lados

 En la pizarra está escrita la ecuación $$(x - 1)(x - 2)\cdots (x - 2016) = (x -1)(x- 2)\cdots (x-2016)$$ que tiene 2016 factores lineales en cada lado. Determinar el menor valor posible de $k$ para el cual pueden borrarse exactamente $k$ de estos 4032 factores lineal, de modo que al menos quede un factor en cada lado y la ecuación que resulte no tenga soluciones reales.

 
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Problema 4 - IMO 2016 - Conjunto de enteros fragantes

Un conjunto de números enteros positivos se llama fragante si tiene al menos dos elementos, y cada uno de sus elementos tiene algún factor primo en común con al menos uno de elementos restantes. Sea $P(n) = n^2 + n + 1$.  Determinar el menor número entero positivo $b$ para el cual existe algún número entero no negativo $a$ tal que el conjunto $$\{P(a+1), P(a+2), \dots,  P(a + b)\}$$ es fragante.

 
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Problema 3 - IMO 2016 - Área de un polígono cíclico de coordenadas enteras.

Sea $P=A_1A_2 \dots A_k$ un polígono convexo en el plano. Los vértices $A_1, A_2, \dots, A_k $ tienen coordenadas enteras y están sobre un círculo. Sea $\mathcal{S}$ el área de $P$. Los cuadrados de las los lados de $P$ son todos divisibles por un entero dado $n$. Demuestra que $2\mathcal{S}$ es divisible por $n$,

Traducido del inglés.

 
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Problema 2 - IMO 2016 - Las letras de IMO en un tablero

Hallar todos los enteros positivos $n$ para los que en cada casilla de un tablero de $n \times n$ puede escribir una de las letras $I$, $M$ y $O$ de manera que:

 
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Problema 1 - IMO 2016 - Concurrencia de rectas

El triángulo $BCF$  tiene ángulo recto en $B$. Sea $A$ el punto en la línea $CF$ tal que $FA = FB$ y $F$ se encuentra entre $A$ y $C$. El punto $D$ está elegido de tal manera que $DA= DC$ y $AC$ es la bisectríz de $\angle DAB$. El punto $E$ es tal que $EA=ED$ y $AD$ es la bisectríz de $\angle EAC$. Sea $M$ el punto medio de $CF$. Sea $X$ el punto tal que $AMXE$ es un paralelogramo (donde $AM \parallel EX$ y $AE \parallel MX$). Demuestra que las líneas $BD$, $FX$ y $ME$ son concurrentes.

Traducido del inglés.

 
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Resultados Examen Estatal

El día viernes 1 de julio fue la Etapa Estatal de la 30 Olimpiada Mexicana de Matemáticas en Tamaulipas. Presentaron un total de 107 alumnos de las distintas regiones del Estado. De ellos, resultaron seleccionados los siguientes 33 alumnos (en orden alfabético por nombre) que forman a la Preselección Tamaulipas 2016.

 
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¿Seguro que sabes contar?

En un concurso de Matemáticas hay 20 participantes, alumnos de Primaria, Secundaria y Bachillerato que se sentarán en una mesa redonda. Hay igual cantidad de alumnos de Secundaria que de Bachillerato. Ya sentados se dividirán en dos equipos con cantidad par de alumnos sentados uno junto a otro (es decir, se pueden tomar de la mano todos los miembros del equipo y formarán una sola cadena). Ellos se dieron cuenta que no importa cómo se formen esos equipos, siempre habrá uno con más alumnos de Secundaria que de Bachillerato. ¿Cuántos alumnos de Primaria hay?

 
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Circunferencia tangente a un cateto

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con $\angle ABC=90$, $BC=72$, $AC=78$. Se considera un punto $D$ sobre el lado $AB$ de tal modo que $2AD=BD$. Sea $O$ el centro de la circunferencia que pasa por los puntos $A$ y $D$ y es tangente al lado $BC$. Encuentra la medida del segmento $OB$.

 
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Las monedas de Ingrid

Ingrid donará $N$ monedas de oro en el año a dos fundaciones protectoras de animales, llamadas $A$ y $B$. Al principio todas las monedas las destinará a $A$. Cada día observa si la cantidad de monedas que tiene $A$ en ese momento es múltiplo de la cantidad de días transcurridos desde que inició la donación, de cumplirse eso, pasa una moneda de $A$ a $B$. El reparto termina cuando la cantidad de días transcurridos es más que la mitad de monedas que tenga $A$.