Publicaciones Recientes http://www.matetam.com/publicaciones_recientes/images/stories/administrator/components/com_civicrm/civicrm/packages/OpenFlashChart/WRI_0223_R2177/mirror.html es 6.- Punto ideal de semejanza http://www.matetam.com/problemas/combinatoria/6-punto-ideal-semejanza <p>Encuentra todos los $n \geq 3$, tales que existe un pol&iacute;gon convexo de $n$ lados $A_1A_2 \dots A_n$, que tenga las siguientes caracter&iacute;sticas:</p> <ul> <li> todos los &aacute;ngulos internos de $A_1A_2 \dots A_n$ son iguales</li> <li> <strong>no</strong>&nbsp;todos los lados de $A_1A_2 \dots A_n$ son iguales</li> <li> existe un tri&aacute;ngulo $T$ y un punto $O$ en el interior de $A_1A_2 \dots A_n$ tal que los $n$ tri&aacute;ngulos $OA_1A_2$, $OA_2A_3$, $\dots$, $OA_{n-1}A_n$ son todos semejantes a $T$&nbsp;</li> </ul> <p><strong style="font-size: 1.2rem;">NOTAS:</strong></p><p><a href="http://www.matetam.com/problemas/combinatoria/6-punto-ideal-semejanza" target="_blank">leer más</a></p> http://www.matetam.com/problemas/combinatoria/6-punto-ideal-semejanza#comments Combinatoria Geometría Avanzado XXXVI OMM 2022 Mon, 21 Nov 2022 19:57:37 +0000 Samuel Elias 4077 at http://www.matetam.com 5.- Borrando divisores de un pizarrón http://www.matetam.com/problemas/combinatoria/5-borrando-divisores-un-pizarron <p>Sea $n &gt; 1$ un entero positivo y sean $d_1 &lt; d_2 &lt; ... &lt; d_m$ sus $m$ enteros positivos de manera que $d_1 = 1$ y $d_m = n$. Lalo escribe los siguientes $2m$ n&uacute;meros en un pizarr&oacute;n:</p> <p class="rtecenter">$d_1 , d_2 , ... , d_m , d_1 + d_2 , d_2 + d_3 , ... , d_{m-1} + d_m , N$</p> <p>donde $N$ es un entero positivo. Despu&eacute;s Lalo borra los n&uacute;meros repetidos (por ejemplo, si un n&uacute;mero repetido aparece 2 veces, el borrar&aacute; uno de los dos). Despu&eacute;s de esto, Lalo nota que los n&uacute;meros en el pizarr&oacute;n son precisamente la lista completa de divisores positivos de $N$. Encuentra todos los posibles valores del entero positivo $n$.</p> http://www.matetam.com/problemas/combinatoria/5-borrando-divisores-un-pizarron#comments Combinatoria Números Avanzado XXXVI OMM 2022 Mon, 21 Nov 2022 19:42:03 +0000 Samuel Elias 4076 at http://www.matetam.com 4.- También arquitectos http://www.matetam.com/problemas/combinatoria/4-tambien-arquitectos <p>Sea $n$&nbsp;un entero positivo. En un jard&iacute;n de $n \times n$ cuyos lados dan al Norte, Sur, Este y Oeste se va a construir una fuente usando plataformas de $1&nbsp;\times 1$ que cubra todo el jard&iacute;n.</p> <p>Ana colocar&aacute; las plataformas todas a diferente altura. Despu&eacute;s, Beto pondr&aacute; salidas de agua en algunas de las plataformas.</p> <p>El agua de cada plataforma puede bajar a las plataformas contiguas (hacia el Norte, Sur, Este y Oeste) que tengan menor altura que la plataforma de donde viene el agua, siguiendo su flujo siempre que pueda dirigirse a plataformas de menor altura. El objetivo de Beto es que el agua llegue a todas las plataformas.</p><p><a href="http://www.matetam.com/problemas/combinatoria/4-tambien-arquitectos" target="_blank">leer más</a></p> http://www.matetam.com/problemas/combinatoria/4-tambien-arquitectos#comments Combinatoria Intermedio XXXVI OMM 2022 Mon, 21 Nov 2022 19:32:01 +0000 Samuel Elias 4075 at http://www.matetam.com 3.- Orquesta Matemática http://www.matetam.com/problemas/numeros/3-orquesta-matematica <p>Sea $n&gt;1$ un entero y sea $d_1 &lt; d_2 &lt; \dots &lt; d_m$ la lista completa de sus divisiores positivos, incluidos $1$ y $n$. Los $m$ instrumentos de una orquesta matem&aacute;tica se disponen a tocar una pieza musical de $m$ segundos, donde el instrumento $i$ tocar&aacute; una nota de tono $d_i$ durante $s_i$ segundos (no necesariamente consecutivos), donde $d_i$ y $s_i$ son enteros positivos. Decimos que esta pieza tiene <em>sonoridad</em> $S = s_1 + s_2 + \cdots + s_m $.</p><p><a href="http://www.matetam.com/problemas/numeros/3-orquesta-matematica" target="_blank">leer más</a></p> http://www.matetam.com/problemas/numeros/3-orquesta-matematica#comments Números Avanzado XXXVI OMM 2022 Fri, 18 Nov 2022 16:52:50 +0000 jesus 4074 at http://www.matetam.com 2.- Ataque de torres en un tablero cúbico. http://www.matetam.com/problemas/combinatoria/2-ataque-torres-un-tablero-cubico <p>Sea $n$ un entero positivo. David tiene 6 tableros de ajedrez de $n \times n$ que ha dispuesto de manera que formen las 6 caras de un cubo de $n \times n \times n$. Se dice que dos casillas $a$ y $b$ de este nuevo tablero c&uacute;bico est&aacute;n&nbsp;<em>alineadas</em>&nbsp;si podemos conectarlas por medio de un camino de casillas $a = c_1, c_2, \dots, c_m = b$ de manera que cada pareja de casillas consecutivas en el camino comparten un lado, y los lados que la casilla $c_i$ comparte con sus vecinas son lados opuestos del cuadrado $c_i$, para $i = 2, 3, \dots, m-1$. Diremos que dos torres colocadas sobre el tablero se <em>atacan</em>; si las casillas que ocupan est&aacute;n alineadas. David coloca algunas torres sobre el tablero de forma que ninguna ataque a otra.</p><fieldset class="fieldgroup group-sugerencia"><legend>Sugerencia</legend><div class="field field-type-userreference field-field-sugerencia-autor"> <div class="field-items"> <div class="field-item odd"> <div class="field-label-inline-first"> Por:&nbsp;</div> jesus </div> </div> </div> <div class="field field-type-text field-field-sugerencia"> <div class="field-label">Sugerencia:&nbsp;</div> <div class="field-items"> <div class="field-item odd"> <p>Verifica que se dan las siguientes relaciones en los siguientes casos pequeños y trata de conjeturar una fórmula.</p> <table> <thead> <tr><th>n</th><th>Máximo número de torres</th></tr> </thead> <tbody> <tr><td>2</td><td>3</td></tr> <tr><td>3</td><td>4</td></tr> <tr><td>4</td><td>6</td></tr> <tr><td>5</td><td>7</td></tr> <tr><td>6</td><td>9</td></tr> </tbody> </table> <p>Demuestra que es posible poner $3\frac{n}{2}$ torres cuando $n$ es par. Y $3\frac{n-1}{2}+1$ cuando n impar</p> <p>Para justificarlo trata de poner $n/2$ torres en cada una de las tres caras que coinciden en un vértice.</p> <p>Para probar que no es posible con más torres, hay que probar lo siguiente: <ul> <li>si tienes torres en caras opuestas, puedes siempre moverlas a una sola de las caras sin que se sigan atacando. </li> <li>Con lo anterior puedes poner todas las torres en tres caras con un vértice común</li> <li>Si $x$, $y$ y $z$ son la cantidad de torres en cada una de estas tres caras. Observar que $x+y$, $y+z$ y $z+x$ son a lo más $n$</li> <li>Concluir entonces que $x+y+z \leq 3n/2$</li> </ul> </p> </div> </div> </div> </fieldset> <img src="http://www.matetam.com/sites/default/files/imagecache/teaser/u4images/tablero_cubo_clean.png" alt="" title="" width="146" height="150" class="teaserthumbnail"/><p><a href="http://www.matetam.com/problemas/combinatoria/2-ataque-torres-un-tablero-cubico" target="_blank">leer más</a></p> http://www.matetam.com/problemas/combinatoria/2-ataque-torres-un-tablero-cubico#comments Combinatoria Avanzado XXXVI OMM 2022 Sun, 13 Nov 2022 04:00:57 +0000 Samuel Elias 4073 at http://www.matetam.com 1.- Números Tlahuicas http://www.matetam.com/problemas/algebra/1-numeros-tlahuicas <p>Un n&uacute;mero $x$ es <em>Tlahuica</em> si existen n&uacute;meros primos distintos $p_1, p_2 \dots, p_k$ tales que</p> $$x= \frac{1}{p_1} + \frac{1}{p_2} + ... + \frac{1}{p_k}$$ <p>Determina el mayor n&uacute;mero&nbsp;<em>Tlahuica&nbsp;</em>que satisface las dos propiedades siguientes:</p> <p> <ol> <li> 0 &lt;&nbsp;<em>x&nbsp;</em>&lt; 1</li> <li> existe un n&uacute;mero entero $0 &lt; m \leq 2022$ tal que $mx$ es un entero.</li> </ol> </p> <fieldset class="fieldgroup group-sugerencia"><legend>Sugerencia</legend><div class="field field-type-userreference field-field-sugerencia-autor"> <div class="field-items"> <div class="field-item odd"> <div class="field-label-inline-first"> Por:&nbsp;</div> jesus </div> </div> </div> <div class="field field-type-text field-field-sugerencia"> <div class="field-label">Sugerencia:&nbsp;</div> <div class="field-items"> <div class="field-item odd"> <ul> <li>Observa que $k \leq 4$, o de lo contrario la segunda condición no se satisfacerá ( $xm$ es entero con $0 &lt; m \leq 2022$ )</li> <li>Calcula el máximo valor de $x$ cuando $k=1, 2, 3, 4$</li> <ul> <li>En el caso $k=3$, observa que la primera condición ($ 0 &lt; x &lt; 1$) no se satiface para el número $x=1/2+1/3+1/5$ por lo que el máximo valor se alcanzará por $x = 1/2+1/3+1/7$.</li> <li>En el caso $k=4$, el máximo tiene un forma similar. Para ello busca el $p$ primo más pequeño tal que $x = 1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/p &lt; 1$ </li> <li>Demuestra que efectivamente con el primo anterior, el número $x$ es el más grande. (Esto, aunque fácil, resultó en varios casos y muy talachudos)</li> </ul> </ul> </div> </div> </div> </fieldset> http://www.matetam.com/problemas/algebra/1-numeros-tlahuicas#comments Álgebra Combinatoria Números Intermedio XXXVI OMM 2022 Sun, 13 Nov 2022 03:31:15 +0000 Samuel Elias 4072 at http://www.matetam.com El 6 del último selectivo 2022 http://www.matetam.com/problemas/algebra/6-del-ultimo-selectivo-2022 <p>Se definen las sucesiones x<sub>n&nbsp;</sub>y y<sub>n&nbsp;</sub><span style="font-size: 1.2rem;">mediante las siguientes reglas:</span></p> <ul> <li> <span style="font-size: 1.2rem;">x<sub>0&nbsp;</sub>= 2, x</span><span style="font-size: 16px;"><sub>1&nbsp;</sub>= 5, x<sub>n+1&nbsp;</sub>= x<sub>n</sub> + 2x<sub>n-1</sub></span></li> <li> <span style="font-size: 16px;">y<sub>0</sub> = 3, y<sub>1</sub> = 4, y<sub>n+1</sub> = y<sub>n</sub> + 2y<sub>n-1</sub></span></li> </ul> <p><span style="font-size: 16px;">​Demuestra que no hay n&uacute;meros que est&eacute;n en ambas sucesiones.</span></p> http://www.matetam.com/problemas/algebra/6-del-ultimo-selectivo-2022#comments Álgebra Intermedio Selectivo OMM Tamaulipas 2022 Mon, 24 Oct 2022 13:57:18 +0000 Samuel Elias 4071 at http://www.matetam.com Sin miedo al factorial http://www.matetam.com/problemas/algebra/miedo-al-factorial <p>Determina el menor entero positivo&nbsp;<em>n</em> tal que para todo entero positivo&nbsp;<em>u</em>&nbsp;se cumple que&nbsp;<em> n + u!&nbsp;&nbsp;</em>sea un n&uacute;mero de al menos 4 divisores</p> http://www.matetam.com/problemas/algebra/miedo-al-factorial#comments Álgebra Números Básico Selectivo OMM Tamaulipas 2022 Mon, 24 Oct 2022 13:53:33 +0000 Samuel Elias 4070 at http://www.matetam.com Isósceles en 2 circunferencias de mismo radio http://www.matetam.com/problemas/geometria/isosceles-2-circunferencias-mismo-radio <p>Sean&nbsp;&alpha; y&nbsp;&beta; dos circunferencias con el mismo radio. Dichas circunferencias se intersectan en puntos P y Q. Sea X un punto en&nbsp;<span style="font-size: 19.2px;">&alpha;. La recta QX intersecta a&nbsp;</span><span style="font-size: 19.2px;">&beta; en un punto Z, de manera que Z queda entre X y Q. Demuestra que PX=PZ.</span></p> http://www.matetam.com/problemas/geometria/isosceles-2-circunferencias-mismo-radio#comments Geometría Básico Selectivo OMM Tamaulipas 2022 Mon, 24 Oct 2022 13:51:31 +0000 Samuel Elias 4069 at http://www.matetam.com Paralelogramo con solo 3 vértices en una circunferencia http://www.matetam.com/problemas/geometria/paralelogramo-solo-3-vertices-una-circunferencia <p>Sea ABCD un paralelogramo. Sean K y L las intersecciones del circunc&iacute;rculo de ABC con los lados AD y CD respectivamente. Sea M el punto medio del arco KL que no contiene a B. Demuestra que DM es perpendicular a AC.</p> <fieldset class="fieldgroup group-sugerencia"><legend>Sugerencia</legend><div class="field field-type-text field-field-sugerencia"> <div class="field-label">Sugerencia:&nbsp;</div> <div class="field-items"> <div class="field-item odd"> <p>Haz cacer&iacute;a de &aacute;ngulos y demuestra que M es el ortocentro del tri&aacute;ngulo ADC.</p> </div> </div> </div> </fieldset> http://www.matetam.com/problemas/geometria/paralelogramo-solo-3-vertices-una-circunferencia#comments Geometría Intermedio Selectivo OMM Tamaulipas 2022 Mon, 24 Oct 2022 13:42:42 +0000 Samuel Elias 4068 at http://www.matetam.com