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Resultados XXXVII OMM

Samuel Elias — Sat, 11 Nov 2023 19:02:19 +0000

Hola, les escribo desde mi casa XD, el día de hoy llegamos a Tamaulipas desde Durango, llegamos a las 7:00 am. La verdad, desde mi punto de vista como participante, el nacional estuvo muy triste, pude haber hecho más. Desde mi punto de vista como persona, es que esta olimpiada estuvo bastante bien como las demás, en los últimos 5 años Tamaulipas no ha caído en el rankin como solía hacerlo en años pasados, manteniendose siempre entre los mejores 16 del país, y en 2 ocasiones entrando en los mejores 8.

Esta año, Tamaulipas quedó en 11° lugar, con los siguientes resultados:

P6 Primer problema real de funcionales

Samuel Elias — Sat, 11 Nov 2023 15:12:38 +0000

Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de los enteros positivos {1, 2, ...}. Determina todas las funciones $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ tales que cualesquiera $m, n \in \mathbb{N}$ se cumple al mismo tiempo que:

$$f(m+n) \ |\ f(m) + f(n)$$ $$f(m)f(n)\ | \ f(mn)$$

Nota: $a | b$ quiere decir que el número entero $a$ divide al número entero $b$.

Sugerencia

Sugerencia:

Las respuestas son la función 1 y la identidad. Haz dos grandes casos: $f(2)=1$ y $f(2)=2$. Para $f(2)=2$ haz un argumento inductivo para que $f(2^k)=2^k$. Para $f(2)=1$ considera un elemento minimal $a$, tal que $f(a)=2$y utiliza la condición de divisibilidad para demostrar que es imposible que $a>2$.

P5 Concurrencia de 2 círculos y 1 segmento

Samuel Elias — Sat, 11 Nov 2023 15:08:20 +0000

Sean $ABC$ un triángulo acutángulo, $\Gamma$ su circuncírculo y $O$ su circuncentro. Sea $F$ el punto en $AC$ tal que $\angle COF = \angle ACB$, donde $F$ y $B$ están de lados opuestos respecto a $CO$. La recta $FO$ corta a $BC$ en $G$. La paralela a $BC$ por $A$ interseca a $\Gamma$ de nuevo en $M$. Las rectas $MG$ y $CO$ se cortan en $K$. Demuestra que los circuncírculos de los triángulos $BGK$ y $AOK$ concurren en $AB$.

P4 Un mago y sus fichas B/N

Samuel Elias — Sat, 11 Nov 2023 15:03:51 +0000

Dada una colección de varias fichas que pueden ser negras o blancas y que tienen, cada una, un número escrito en ellas, un mago hace el siguiente movimiento: Toca 2 de las fichas con distinto número y color, y la de número menor se convierte en una ficha idéntica a la otra.

Sea $n$ un entero mayor o igual a 2. Para cada uno de los movimientos del 1 al $n$, el mago pone en la mesa una ficha negra o blanca con ese número. Luego hace su $movimiento$ para ir modificando la colección.

Sugerencia

Sugerencia:

Maximiza $k$ y luego armate los demás valores para $k$

P3 Regresa la Geo a la OMM

Samuel Elias — Sat, 11 Nov 2023 14:53:15 +0000

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Si $M, N, K$ son los puntos medios de los segmentos $AB$, $BC$ y $CD$ respectivamente, y además existe un punto $P$ dentro del cuadrilátero $ABCD$ tal que, $\angle BPN = \angle PAD$ y $\angle CPN = \angle PDA$. Demuestra que $AB \cdot CD$ = $4PM \cdot PK$

Sugerencia

Sugerencia:

Transforma un poco las condiciones del problema. Refleja desde p los puntos medios para tener paralelogramos.

P2 Germán y su obsesión con los polígonos regulares.

Samuel Elias — Sat, 11 Nov 2023 14:47:28 +0000

Los números del 1 al 2000 se encuentran colocados sobre los vértices de un polígono regular de 2000 lados, uno en cada vértice, de manera que se cumple lo siguiente: Si cuatro enteros $A, B, C, D$ cumplen que $1\leq A < B < C < D \leq 2000$, entonces el segmento que une los vértices donde están los números $A$ y $B$ y el segmento que une los vértices donde están $C$ y $D$ no se intersectan en el interior del polígono. Demuestra que existe un entero positivo que es un cuadrado perfecto tal que el número diametralmente opuesto a él no es un número cuadrado perfecto.

P1 OMM 37

andre — Thu, 09 Nov 2023 14:37:34 +0000

Encuentra todos los números de 4 dígitos tales que la suma de los cuadrados de sus dígitos es igual al doble de la suma de sus dígitos.

Sugerencia

Sugerencia:

a) Ve los residuos que tiene la suma con 2 y cuatro y ve como se compensa la suma.

b) Con tamaños demuestra que todos los dígitos son menores a 4. Demuestra también qué dígitos pueden ir con quién.

Solución

Solución:

Sean $a, b, c, d$ los dígitos de nuestros enteros positivos. Entonces:

$a^2+b^2+c^2+d^2=2(a+b+c+d)=2a+2b+2c+2d$

Sea $LS=a^2+b^2+c^2+d^2$ y $RS=2a+2b+2c+2d$. Entonces queremos que $LS=RS \Leftrightarrow LS-RS=0$

$\forall x \geq 3 \in \mathbb{N}, x^2>2x$ Entonces, si algún dígito es mayor o igual a 4, tendremos que $LS-RS \geq 8$. Para poder equilibrar la igualdad, necesitaremos usar puros dígitos 1 ya que $1^2 <2(1)$, pero entonces $LS-RS \geq 5$.

$\therefore$ Solo podemos usar dígitos 0, 1, 2, 3.

Si usamos un dígito 3, nota que $LS-RS=3$, entonces para alcanzar el 0, tendremos que usar puros dígitos 1 (usar talacha para comprobar).

Si usamos un dígito 2, los demas dígitos tendrán que ser 0 o 2 para que no se altere la igualdad (demostrar primero que para usar un dígito 3 se usan 3 dígitos 1).

Usar 1 dígito 1 implica usar 1 dígito 3 que implica usar más dígitos 1.

Entonces nuestras respuestas son:

3111, 1311, 1131, 1113, 2000, 2200, 2020, 2002, 2220, 2022, 2222

3.- Ortocentro como Punto Medio

Samuel Elias — Wed, 01 Nov 2023 23:31:07 +0000

Sean $ABC$ un triángulo acutángulo, $H$ su ortocentro y $M$ el punto medio de $BC$. La perpendicular a $MH$ por $H$ corta a $AB$ en $L$ y a $AC$ en $N$. Demuestra que $LH=HN$.

NOTA: El ortocentro es la intersección de las alturas del triáungulo.

Un triángulo acutángulo es aquel que tiene sus 3 ángulos agudos.

Sugerencia

Sugerencia:

Recuerda lo que pasa con las reflexiones del ortocentro y el circuncírculo

2.- Un 2024-ágono y sus diagonales

Samuel Elias — Wed, 01 Nov 2023 02:07:10 +0000

Cada diagonal de un polígono regular de 2024 lados se va a pintar con un color, de manera que dos diagonales que se intersecten dentro del polígono sean de distinto color. ¿Cuál es el mínimo número de colores necesarios para cumplir esta tarea?

Sugerencia

Sugerencia:

Demuestra que el acomodo es pintando las diagonales en forma de zig-zag

1.- Un problema Clásico de Factorización en Teoría de números

Samuel Elias — Wed, 01 Nov 2023 02:01:57 +0000

Determina todas las parejas de enteros positivos $(p, k)$ con $p$ un número primo tales que:

$p^k-k^p=9k$

Sugerencia

Sugerencia:

Usa paridad, luego factoriza

Solución

Solución:

Veamos.

Si $p$ es impar y $k$ es impar, $p^k-k^p$ es par pero $9k$ es impar.

Si $p$ es impar y $k$ es par, $p^k-k^p$ es impar pero $9k$ es par

$\therefore p=2$

Entonces tenemos que $2^k-k^2=9k \Leftrightarrow 2^k=9k+k^2 \Leftrightarrow 2^k=k(k+9)$

Nota que $k$ tiene que ser par porque si no $2^k-k^2$ es impar y $9k$ seria par. También nota que el lado izquierdo crece más rápido que el derecho (ya que tenemos exponencial vs producto). Para $n>6, 2^k>k(k+9)$.

Si k=6, 64=90

Si k=4, 16=52

Si k=2, 4=22.

$\therefore$ No hay soluciones.